重难点02数列求和的五种解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）

重难点02数列求和的五种解题方法 【目录】 题型一：公式法 题型二：裂项相消法 题型三：错位相减法 题型四：分组（并项）求和法 题型五：倒序相加法 ( 技巧 方法 ) 数列的求和 （1）公式法： ①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝ ②等比数列前n项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 分析：形如的求和，可使用裂项相消法如： ＝ ＝． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＝7，a5+a7＝26， ∴，解得a1＝3，d＝2， ∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1； Sn＝＝n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1， ∴bn＝＝＝＝， ∴Tn＝＝＝， 即数列{bn}的前n项和Tn＝． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考． ( 能力拓展 ) 题型一：公式法 一、单选题 1．（2023·上海长宁·统考二模）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（    ） A．若①有实根，②有实根，则③有实根 B．若①有实根，②无实根，则③有实根 C．若①无实根，②有实根，则③无实根 D．若①无实根，②无实根，则③无实根 二、填空题 2．（2023·上海宝山·统考二模）若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________． 3．（2023·上海松江·统考二模）参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升． 三、解答题 4．（2023·上海奉贤·统考二模）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)计算． 5．（2023·上海静安·统考二模）已知各项均为正数的数列{}满足（正整数 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{}的前n项和. 6．（2023春·上海虹口·高三统考期中）记为数列的前项和，已知，（为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求正整数的值. 7．（2023·上海普陀·统考二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 8．（2023·上海浦东新·统考二模）已知数列是首项为9，公比为的等比数列． (1)求的值； (2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值． 题型二：裂项相消法 一、填空题 1．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为___________． 2．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）若，则__. 二、解答题 3．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求的值． 4．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列的前项的和为，数列是公比为的等比数列. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 题型三：错位相减法 一、填空题 1．（2021秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知等差数列满足，，等比数列的公比，令的前项和为，若“”是“”的充分条件，则正整数的最小值为______. 二、解答题 2．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶