中考核心微专题二十 角的数量关系的应用与探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书课件PPT

浙江良品图书有限公司 精彩三年 中考数学新问题导引 一题一课 中考核心微专题二十 角的数量关系的应用与探究 单击此处编辑母版文本样式 1 2023浙江中考动态 单击此处编辑母版文本样式 第一层　“100－110分”命题探究 角是几何图形中的基本元素，中考中经常会出现角的数量关系应用与探究问题．如下图所示，第一类的等角或倍角关系，一般由角平分线、平行线、等腰三角形(等腰梯形或菱形等)、圆心角或圆周角、全等或相似三角形等基础图形产生．通常，以上多个因素会叠加出现在压轴题或次压轴题中，考查学生的综合应用能力．此时，要善于从角的数量关系出发寻找特殊的图形，用联系的眼光去看待未知量与已知量的关系，利用解三角形、相似三角形、函数与方程等方法解决相关问题． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 角度1　“角平分线＋平行线”背景下的角的数量关系 必备知识： 角平分线和平行线的性质，等腰三角形的性质． 构造思路： 利用角平分线与平行线得到等角，得出等腰三角形．反之，利用角平分线与等腰三角形可得平行线，利用平行线与等腰三角形可得角平分线． 示例图形： 如右图，若BD平分∠ABC， 点D，E分别在射线BD，BA上，DE∥BC， 则△BDE是等腰三角形． 单击此处编辑母版文本样式 思考：(1)如何利用菱形、角平分线、平行线的性质进行角的等量代换？ (2)结合图形特点，能否构造相似三角形解决问题？或者尝试等积法？ B 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 变式 [2022·温州]如图，BD是△ABC的角平分 线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB. (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 思考：(1)如何利用角平分线与平行线进行角的等量代换，从而得到等腰三角形？ (2)图中存在几个等腰三角形？它们之间有何关联？ 单击此处编辑母版文本样式 解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB. (2)CD＝ED，理由如下： ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE， 由(1)得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED. 单击此处编辑母版文本样式 角度2　特殊三角形或四边形背景下的角的数量关系 必备知识： 特殊三角形、特殊四边形中角的关系，与角转化有关的边的关系． 构造思路： 寻找三角形的特殊性，特殊四边形问题转化为特殊三角形． 单击此处编辑母版文本样式 例2 　[2021·衢州]如图，将菱形ABCD绕点A 逆时针旋转 ∠α 得到菱形AB′C′D′，∠B＝ ∠β .当AC平分 ∠B′AC′时，∠α与 ∠β 满足的 数量关系是(　　) A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180° 思考：(1)根据旋转性质，图中哪些角都等于旋转角∠α？从这个角度如何求解？ (2)菱形中的等腰△ABC三个内角都能用∠β表示吗？能找到怎样的等量关系？ C 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 ∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α 得到菱形 AB′C′D′， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝∠α. ∵AC平分∠B′AC′， ∴∠B′AC＝∠CAC′＝∠α＝∠BAB′. ∵在菱形ABCD中，∠BAC＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠CAB＝2∠α， ∴∠BAD＝4∠α.∵AD∥BC， ∴∠BAD＋∠B＝180°，∴4∠α＋∠β＝180°. 单击此处编辑母版文本样式 角度3　圆背景下的角的数量关系 角度问题以圆为背景，可借助圆心角、圆周角、圆中的等腰三角形来进行角的等量代换．在研究角的数量关系时，以等角代换为基本方法，将相关角集中在同一个三角形中，体现化零为整的思想． 单击此处编辑母版文本样式 例3[ 2020·杭州]如图，已知BC是⊙O的直径， 半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点 C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α， ∠AOD＝β，则(　　) A．3α＋β＝180° B．2α＋β＝180° C．3α－β＝90° D．2α－β＝90° 思考：(1)观察∠DBC和∠DOC的位置，联想到什么关系？ (2)结合条件，可以运用圆的哪些性质进行角的等量代换？ D 单击此处编辑母版文本样式