中考核心微专题十二 等腰三角形存在性问题-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书课件PPT

浙江良品图书有限公司 精彩三年 中考数学新问题导引 一题一课 中考核心微专题十二 等腰三角形存在性问题 单击此处编辑母版文本样式 1 2023浙江中考动态 单击此处编辑母版文本样式 第一层　“100－110分”命题探究 等腰三角形的存在性问题是一个常考的知识热点．常用模型有三种：1.两点已定，操作探究；2.动点较多，结合边角；3.数形结合，构建等腰三角形存在与方程解之间的关联．在问题呈现形式上，时常改变出题背景，如将某图形旋转、平移、或追加动点、动线等，目的就是产生动态的点，从而产生动态的三角形，再从中寻找存在的等腰三角形．此类型的问题通常需要分类讨 论，需具备一定的画图能力． 单击此处编辑母版文本样式 必备知识(两圆一线): 平面内，与定点A，B构成等腰三角形的点C落在以A为圆心，AB为半径的圆上、以B为圆心，AB为半径的圆上以及AB的中垂线上． 单击此处编辑母版文本样式 例1 [2021·绍兴]如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动BC－CD到点D停止．在形状的变化过程中，△ABP依次出现的特殊三角形是(　　) A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形 →直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形 →等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 C 单击此处编辑母版文本样式 思考：(1)菱形对角线具有哪些性质？ (2)含60°角的菱形具有哪些特性？ (3)在折线BC－CD 上，且与A，B构成特殊三角形的点有 哪些？ 思路点拨：用两圆一线构造出与A，B构成等腰三角形的点，找出两圆一线与折线的交点；同时用两线一圆构造与A，B构成直角三角形的点，找出两线一圆与折线的交点． 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 如图1，图2所示，根据交点所处的具体位置判断图 形形状，故选C. 单击此处编辑母版文本样式 等腰三角形的存在性问题条件中会出现动点较多的情形，若用模型解决存在困难，我们可以考虑结合边角的关系进行分类求解． 必备知识：等腰三角形存在性问题的两种基本分类依据：(1)按边分；(2)按角分． 单击此处编辑母版文本样式 例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3， AD＝4，E，F分别是边BC，CD上一点， EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连 结AC′，当BE＝____________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形． 思考：(1)以AE为腰的等腰三角形唯一确定吗？若不唯一，有哪几类？ (2)翻折后的三角形与原图形之间存在怎样的联系？ 单击此处编辑母版文本样式 思路点拨：对△AEC′是以AE为腰的等腰三角形进行分类讨论，分AE＝EC′或AE＝AC′两种情况，根据图形关系，运用等腰三角形的性质、勾股定理和折叠性质，建立数量关系解决 问题． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 例3 [2021·丽水]模拟定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． (1)请你在下图中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) (2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是 △ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD， DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值 思考：(1)45°角和等腰三角形结合，会联想到哪些特殊角度或特殊图形？ 单击此处编辑母版文本样式 (2)画出示意图，对于等腰三角形ADE，你可以进行怎样的分 类？ 解：(1)如图1. (2)如图2，3. 单击此处编辑母版文本样式 ①当AD＝AE时，∵AD＝BD，∠B＝30°， ∴∠BAD＝30°. ∵DE＝CD，∠C＝x°，∴∠EDC＝x°， ∴∠AED＝∠ADE＝2x°， ∴2x＋x＝60，∴x＝20. ②当AD＝DE时， ∵AD＝BD，∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∵DE＝CE， ∠C＝x°，∴∠EDC＝x°，∴∠AED＝∠DAE＝2x°， ∴60＝x＋180－4x，∴x＝40. 单击此处编辑母版文本样式 ③当AE＝DE时，此时不存在． 综上所述，x的值是20或40. 单击此处编辑母版文本样式 利用数形结合，当三角形的三边便于用同一个未知量表示