2023年上海市初升高自主招生数学全真模拟试卷(八）

自主招生数学全真模拟试卷(八) 1． 填空题 1. 若质数p、q满足，则样本p、q、9、16的中位数是_______ 2. 在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB=7，AC=8，则BC=_______. 3. 已知a、b、c、d满足，则d的值为_______. 4. 设n为正整数，且3n+1、5n-1均为完全平方数，给出以下两个命题： ①7n+13必为合数；②8(17n2+3n)必为两个完全平方数的和.其中正确的是______(填序号) 5. 在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高，△ABC的三边长a、b、c均为正整数，BD=27，则cosB=_______. 6. 在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高AD与高BE相交于点H，若AB=1，则四边形CDHE的面积为________. 7. 已知平面内点P到等边△ABC的三边所在直线l1、l2、l3的距离为6、9、12，则△ABC的边长的可能值有_______个. 8. 已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共的斜边AC，M、N分别为边AC、BD的中点，若∠BAC=30°，∠CAD=45°，MN=1，则AC的长为________. 2． 解答题 9. 正三角形ABC中有一点P，满足AP=3，BP=4，CP=5，求三角形ABC的面积. 10. 已知抛物线与y轴交于点P，与x轴交于不同点A、B，且，求所有b的可能值的乘积. 11. 已知a、b、c、d均为实数，且a+b+c+d=4,a+b+c+d=,求a的最大值. 12.有一块三角形的活动场地，边AB=20，∠B=60°，∠C=75°，AD是一条石灰线且AD⊥BC于点D，悠悠从点D出发，经过边AB上一点及AC上一点，最后回到D处，求悠悠走的最短路程. 参考答案 1. 由得，故有解得(p,q)=(-1,-7)(舍去)，(11,17)、(-5,)(舍去)、(7，)(舍去)，故样本为11、17、9、16，其中位数是13.5 2. 如下图延长CA至点D，使AD=AB，连接BD，BCD为等腰三角形，作BECD于点E，DE=CE=，故AE=，得BC= 3. 设(a,b)=d′,a=d′a1,b=d′b1,(a1,b1)=1,已知条件中的两式相除得则设d+29=,d-29=即有，同奇偶知t=2,,,故a1=15,b1=14,d=421 4. 设(a、b为正整数)则7n+13=9(3n+1)-4(5n-1)=，故3a-2b为正整数. 若3a-2b=1,则27n+9=，即，故4|n，不妨设n=4k,则5n-1=20k-1不为平方数，矛盾.因此3a-2b2；故7n+13为合数，结论①正确；又,故结论②正确；故正确的序号为①② 5. 设不妨设其中,由射影定理知BC2=BD·BA，即，从而有，即有，所以，解得a0=1或3 若a0=1，则不是正整数，矛盾. 若a0=3，则，设所以,所以cosB= 6. 因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，故∠ACB=75°，△ABC是锐角三角形，高AD与BE的垂足分别在BC、AC上，易知AE=BE=，BD=，AD=，同时△AEH≌△BEC得， 7. 设正△ABC的高为h，点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，如图，当P在I中时，h=h1+h2+h3=27；当P在Ⅱ中时，h=h1+h2-h3，有3种可能值；当P在Ⅲ中时，h=h1-h2-h3<0，无可能值.因此，这样的△ABC有4个不同边长. 8. 分两种情形： (1) 当点B、D位于直线AC的同侧时，如图①，连接DM、BM，则MD=MB=AC,DM⊥AC；从而△BCM是等边三角形，故∠DMB=∠DMC-∠BMC=30°；在△DMB中，根据三线合一得MN⊥BD，∠BMN=∠DMB=15°，由2cos15°-1=,得cos15°=,故AC= (2) 当点B、D位于直线AC的两侧时，如图②，有∠DMD=∠BMC+∠DMC=150°，则AC= 综上，AC=或 9. 如图，以AP为边向外作等边△APP′，连接BP′，易知△ABP′≌△ACP，易知P′B=5，P′P=3，故∠BPP′=90°，而∠APP′=60°，故∠APB=150°；过点B作BE⊥AP于点E，得BE=2，PE=2，AB2=25+12，故S△ABC= 10. ①当A、B均在y轴左侧时，因为a>0,△>0,所以点P在x轴上方，设A(-k,0)B(-2k,0)P(0,3k)将三点代入得b=. ②当A、B均在y轴右侧时，同理得b= ③当A、B在y轴异侧时(注意时，点P在x轴下方),仿照①②分别得b=或b=-，从而乘积为 11. 构造函数因且图像是开口向上的抛物线，则即解得，故a的最大值是2. 12. 如图作点D关于AB的对称点D1，关于AC的对称点D2，连接D1D