有理数的运算 学案2022-2023学年北师大版七年级数学上册

第三讲 有理数的运算 【学习目标】 1．能熟练运用有理数的加、减、乘、除运算法则对有理数进行运算； 2．能熟练运用运算定律简化有理数的四则运算； 3．在运算过程中培养计算能力． 考点1：有理数的加减运算 知识点与方法技巧梳理： 有理数加法法则： 1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 3．一个数同0相加，仍得这个数． 在运算过程中，能够熟练运用加法的交换律和加法的结合律． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“4.5－3.2＋1.1－1.4”可以看成4.5，－3.2，1.1，－1.4这4个数的和，因此在进行加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算． 【例】计算： 1．相反数结合法 2．同号结合法 （1）( －2 )－( －3 )＋1＋( －3 )＋2＋( －4 ) （2）23＋( －17 )－( －6 )－( ＋22 ) 3．同分母结合法 4．凑整法 （3） （4） 【变式训练】计算： （1）( ＋34 )＋( －28 )＋62＋18＋( －82 ) （2）－20＋( －14 )－( －18 )－13－( ＋11 ) （3）) （4） （5） （6） 考点2：有理数的乘除运算 知识点与方法技巧梳理： 有理数乘法法则： 1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 2．任何数与0相乘，积仍为0． 在运算过程中，能够熟练运用乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律． 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数． 有理数除法法则： 1．两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 2．0除以任何非0的数都得0． 3．除以一个数等于乘这个数的倒数． 注意：0不能作除数 【例】计算： （1） （2） （3） （4） 【变式训练】计算： （1） （2） （3） （4） 考点3：有理数的加减乘除混合运算 知识点与方法技巧梳理： 先算乘除，后算加减；如果有括号，先算括号里面的． 【例1】计算： （1） （2） 【变式训练】计算： （1） （2） （3） （4） （5）用定义一种新运算：＝，例如：＝＝，则的值是___________． 【例2】（师大一中半期）出租车司机小李某天下午的营运全部在东西走向的一条路上，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他行车里程（单位：千米）如下： ＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6 （1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？在什么方向？ （2）若汽车耗油为0.1升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【变式训练】（七中半期）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）： ＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； （2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度． 考点4：等差数列 知识点与方法技巧梳理： 求和公式：（首项+末项）×项数÷2 项数公式：（末项-首项）÷公差+1 第n项公式：首项+（项数-1）×公差 【例】（倒序相加）计算： 【变式训练1】计算： 【变式训练2】计算： 考点5：错位相减（设元法） 【例】（错位相减）计算： 【变式训练1】计算： 【变式训练2】计算： 【变式训练3】计算： 考点6：有理数的乘方及其混合运算 知识点与方法技巧梳理： 求n个相同因数a的积的运算a n叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数．当底数是负数或分数时，必须用括号把底数括起来． 乘方是乘法的特例，乘方运算可用有理数的乘法运算完成，对于底数为负数的乘方运算，幂的符号由指数决定，指数为奇数时，积为负；指数为偶数时，积为正． 【例】计算： 平方得4的数是_______，立方得－8的数是_______，－3 5的底数是_______， －2 2＝_______，( －2 )2＝_______，－( －2 )2＝_______，( －2 2 )2＝_______， 3×2 2＝_______，( 3×2 )2＝_______，＝_______，＝_______， ＝_______． 【变式训练】计算： ＝_______，＝_______，＝_______，＝_______． 考点7：科学记数法 知识点与方法技巧梳理： 一般地，一个大于10的数可以表示成a×10 n的形式，其中a是正整