专题特训三 构造三角函数模型解决实际问题-【拔尖特训】2022-2023学年九年级下册数学（北师大版）

专题特训三　构建三角函数模型解决实际问题 类型一 构造单直角三角形 1. (2022·江西)如图①所示为某长征主题公 园的雕塑,将其抽象成如图②所示的示意 图.已知AB∥CD∥FG,A,D,H,G 四点 在同一条直线上.测得∠FEC=∠A= 72.9°,AD=1.6m,EF=6.2m. (1) 求证:四边形DEFG 为平行四边形. (2) 求雕塑的高(即点G 到AB 的距离) (结果精确到0.1m,参考数据:sin72.9°≈ 0.96,cos72.9°≈0.29,tan72.9°≈3.25). (第1题) 类型二 构造形如“背靠背型”的共边双直角 三角形 模型示例:图示: 若三角形中有已知角,通过在三角形内作高 CD,构造有公共直角边的两个直角三角形进 行求解. 等量关系:CD 为公共边,AD+DB=AB. 模型演变: 2. 如图,A,B 两点被池塘隔开,在AB 外选 一点C,连接AC,BC.测得BC=221m, ∠ACB=45°,∠ABC=58°.求AB 的长 (结果精确到1m,参考数据:sin58°≈ 0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60). (第2题) 类型三 构造“母子型”双直角三角形 模型示例:图示: 若三角形中有已知角,通过在三角形外作高 BC,构造有公共直角的两个直角三角形进行 求解. 等量关系:BC 为公共边,AD+DC=AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(北师版)九年级下 模型演变一:有公共锐角顶点,有公共部分 模型演变二:无公共锐角顶点,有公共部分 模型演变三:无公共部分 3. (2021·宿迁)如图,一架无人机沿水平直 线飞行进行测绘工作,在点P 处测得正前 方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯 角为30°,面向AB 方向继续飞行5米,测 得该建筑物底端B 的俯角为45°.已知建 筑物AB 的高为3米,求无人机飞行的高 度(结果精确到1米,参考数据:2≈ 1.414,3≈1.732). (第3题) 4. (2022·宜宾)宜宾东楼始建于唐代,重建 于宜宾建城2200周年之际的2018年,新 建成的东楼(如图①)成为长江首城会客 厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某 数学小组为测量东楼的高度,在梯步A 处 (如图②)测得楼顶D 的仰角为45°,沿坡 度为7 24 的斜坡AB 前行25米到达平台B 处,测得楼顶D 的仰角为60°,求东楼的高 度DE(结果精确到1米,参考数据:3≈ 1.7,2≈1.4). (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第一章　直角三角形的边角关系 ∴ AE=17.5m. ∵ EB=1.5m, ∴ AB=AE+EB=17.5+1.5=19(m). ∴ 建筑物AB 的高度为19m. 3. B [解析]如图,过点E 作EM⊥ AB 于点M,延长ED 交BC的延长线 于点G,则EG⊥BG.设DG=xm, x>0.∵ 斜坡CD 的坡度为512 ,∴ 易 得CG=2.4xm.由题意,得BC=52m, ∴ DC=BC=52m.在Rt△CDG 中, 由勾股定理,得DG2+CG2=DC2,即 x2+(2.4x)2=522,解得x=20(负值 舍去).∴ DG=20m,CG=48m. ∴ EG=DG+DE=20+0.8=20.8(m), BG=BC+CG=52+48=100(m). ∵ 由题意,易得四边形EGBM 是矩 形,∴ EM=BG=100m,BM=EG= 20.8m.在Rt△AEM 中,∵ ∠AEM= 27°,∴ AM=EM·tan27°≈100× 0.51=51(m).∴ AB=AM+BM= 51+20.8=71.8(m). (第3题) 4. 51 [解析]∵