专题特训九 抛物线与几何图形的最值问题-【拔尖特训】2022-2023学年九年级下册数学（北师大版）

专题特训九　抛物线与几何图形的最值问题 类型一 抛物线与线段的最值问题 1. (2021·东营改编)如图,抛物线y=- 1 2x 2+ bx+c与x轴交于A,B 两点,与y轴交于 点C,直线y=- 1 2x+2 过B,C 两点,连 接AC. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若M(3,2)是抛物线上的一点,D 为抛 物线上位于直线BC 上方的一点,过点D 作DE⊥x轴交直线BC 于点E,P 为抛物 线对称轴上一动点,当线段DE 的长度最 大时,求PD+PM 的最小值. (第1题) 2. (2022·常德)如图,抛物线过点O(0,0), A(5,5),且它的对称轴为直线x=2. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若B 是抛物线对称轴上的一点,且点 B 在第一象限,当△OAB 的面积为15时, 求点B 的坐标. (3) 在(2)的条件下,P 是抛物线上的动 点,当PA-PB 的值最大时,求点P 的坐 标以及PA-PB 的最大值. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 数学(北师版)九年级下 类型二 抛物线与面积的最值问题 3. (2022·广东)如图,抛物线y=x2+bx+c (b,c 是常数)的顶点为C,与x 轴交于 A(1,0),B 两点,AB=4,P 为线段AB 上 的动点,过点P 作PQ∥BC 交AC 于点Q, 连接PC.求: (1) 抛物线对应的函数表达式. (2) △CPQ 面积的最大值及此时点P 的 坐标. (第3题) 4. 如图,开口向下的抛物线与x 轴交于点 A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4), P 是第一象限内抛物线上的一点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 连接BP,设四边形CABP 的面积为 S,求S的最大值. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 第二章　二次函数 抛物线绕顶点旋转180°后,得y= -2(x-3)2-2=-2x2+12x-20. 10. (1) ∵ 抛物线y=-x2+2nx- n2+2n过点P,点P 的纵坐标为4, ∴ 4=-x2+2nx-n2+2n,解得 x1=n+ 2n-4,x2=n- 2n-4. ∵ PQ=|x1-x2|=4, ∴ 2 2n-4=4,解得n=4. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+8x-8,x1=6,x2=2. ∵ 点P 在点Q 的左侧, ∴ 点P 的坐标为(2,4). (2) 正确. 理由:由(1),得P(2,4),Q(6,4). ∵ PQ=4, ∴ 点Q 绕着点P 旋转180°后的对称 点为Q'(-2,4). ∴ 点P 与点Q'正好关于y轴对称. ∴ 所得新抛物线的对称轴是y轴. ∵ 抛物线y=-x2+8x-8=-(x- 4)2+8, ∴ 抛物线的顶点M 的坐标为(4,8). ∴ 顶点M 到直线PQ 的距离为4. ∴ 所得新抛物线的顶点到直线PQ 的距离为4. ∴ 所得新抛物线的顶点恰为坐标原 点O. 专题特训九　抛物线与几何 图形的最值问题 1. (1) 对于y=- 1 2x+2 ,令y=0, 得0=-12x+2 ,解得x=4;令x= 0,得y=2. ∴ 点B 的坐标为(4,0),点C 的坐标 为(0,2). 把B(4,0),C(0,2)分别代入y= -12x 2+bx+c,得 -8+4b+c=0, c=2, 解得 b=32 , c=2, ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 1 2x 2+32x+2. (2) 设点D 的坐标为 m,-12m2+ 3 2m +2 ,则 点 E 的 坐 标 为 m,-12m+2 . ∴ DE = - 12m