江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022~2023学年第二学期期中试卷 高一数学 2023.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 4. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列关于平面向量说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点为重心，则 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 11. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 在上是减函数 B. 由可得是的整数倍 C. 是奇函数 D. 函数在区间上有个零点 12. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ） A. 为的垂心 B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分． 13. 若是虚数单位，，则___________. 14. 已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______. 15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m． 16. 如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z； （2）已知复数为纯虚数，求实数m的值. 18. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点. （1）求实数，的值； （2）设的重心为，且，求的值. 19. 已知向量，，且函数. （1）若，且，求的值； （2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域. 20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为. （1）求，，，的值； （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点； （3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值. 21. 在三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，角的对边分别为，为的面积，且选条件： （1）求 （2）作使得四边形满足，，求的取值范围. 22. 对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的