专题特训二 垂径定理的应用-【拔尖特训】2022-2023学年九年级下册数学（沪科版）

专题特训二　垂径定理的应用 类型一 求半径 1. 如图所示为一个隧道的横截面,它的形状 是以点O 为圆心的圆的一部分.如果 M 是☉O 的弦CD 的中点,EM 经过圆心O 交☉O 于点E,CD=10,EM=25.求☉O 的半径. (第1题) 类型二 求弦长 2. 如图,AB 是☉O 的直径,AB 平分弦CD, 交CD 于点E,∠AOC=60°,OC=2,求 CD 的长. (第2题) 3. 如图,直线AC 与☉O 相交于点B,C,直线 AD 过圆心O.若☉O 的 半 径 是5,且 ∠DAC=30°,AD=13,求弦BC 的长. (第3题) 类型三 求弦心距 4. 如图,☉O 的直径CD⊥弦AB 于点E,且 CD=10cm,AB=8cm,求OE 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第24章　圆 5. 如图,DE 是☉O 的直径,AB 是☉O 的弦, AB 的中点C 在直径DE 上,AB=8cm, CD=2cm. (1) 求☉O 的面积. (2) 连接AE,过圆心O 向AE 作垂线,垂 足为F,求OF 的长. (第5题) 类型四 求点的坐标 6. (1) 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐 标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C,D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形.求点C 的坐标. (2) 在(1)的条件下,试在平面直角坐标系 内确定点 N,使△NOA 与△AOC 相似, 直接写出所有符合条件的点N 的坐标. (第6题) 类型五 解决实际问题 7. 如图所示为一张盾构隧道断面结构图.隧 道内部为以点O 为圆心、AB 为直径的圆. 隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中层 为行车隧道,下层为服务层.点A 到顶棚 的距离为1.6m,顶棚到路面的距离为 6.4m,点B 到路面的距离为4.0m.求路 面CD 的宽度(精确到0.1m.参考数据: 2≈1.414). (第7题) 8. 受台风影响,某地连日降雨.如图,当地有 一圆弧形拱桥,跨度 AB=60m,拱高 PM=18m.当水位上升,水面跨度缩小到 30m时要采取紧急措施,当时测量人员测 得水面A1B1到拱顶的距离PN 只有4m, 问是否要采取紧急措施? 请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(沪科版)九年级下 [解析]分圆心在三角形内和在三角形 外两种情况讨论:如图①,当圆心O 在 △ABC内时,连接OA,OB,过点O 作OD⊥BC于点D.结合垂径定理和 等腰三角形的性质,易得A,O,D 三 点共线.∵ OD=3cm,OB=OA= 7cm,∴ AD=OD+OA=3+7= 10(cm).∴ BD= OB2-OD2 = 2 10cm.∵ AD⊥BC,∴ AB= AD2+BD2=2 35cm.如图②,当 圆心O在△ABC外时,同理可得BD= 2 10cm,AD⊥BC.此时,AD=7-3= 4(cm),AB = AD2+BD2 = 2 14cm.综上所述,腰AB 的长为 2 35cm或2 14cm. (第15题) 16. (1) 如图,连接AO 并延长,交 BC于点E. ∵ AB=AC, ∴ AB︵=AC︵. ∵ AE 经过圆心O, ∴ AE 垂直平分BC. ∴ AE 平分∠BAC. ∴ ∠BAC=2∠BAE. ∵ OA=OB, ∴ ∠ABD=∠BAE. ∴ ∠BAC=2∠ABD. (2) 设∠ABD=x. 由(1)知,∠BAC=2∠ABD=2x. ∴ ∠BDC=∠ABD+∠BAC=3x. 显然DB≠DC. ① 若BC=BD, 则∠C=∠BDC=3x. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C=3x. 在 △ABC 中,∠ABC +