专题特训五 平行四边形的性质与判定的综合-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（沪科版）

专题特训五　平行四边形的性质与判定的综合 类型一 证明四边形是平行四边形 1. (2022·鞍山)如图,在四边形ABCD 中, AC与BD 交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC, 垂足分别为E,F,且BE=DF,∠ABD= ∠BDC.求证:四边形 ABCD 是平行四 边形. (第1题) 类型二 证明两直线平行 2. 如图,分别延长▱ABCD 的边CD,AB 到 点E,F,使DE=BF,连接EF,分别交 AD,BC 于点G,H,连接CG,AH.求证: CG∥AH. (第2题) 类型三 证明角相等 3. ★ 如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,E 为边CD 上一点,连接AE 并延长,交BC 的延长线于点F,且∠BAE+∠DEF= 180°.求证:∠DAE=∠F. (第3题) 类型四 求角的度数 4. (2022·烟台)如图,在▱ABCD 中,DF 平 分∠ADC,交 AB 于点F,BE∥DF,交 AD 的延长线于点E.若∠A=40°,求 ∠ABE 的度数. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 第19章　四 边 形 类型五 证明线段相等 5. (2022·宿迁)如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是边AB,CD 的中点.求证:AF=CE. (第5题) 类型六 求线段的长 6. (2022·益阳)如图,在▱ABCD 中,AB= 8,E 是AB 上一点,AE=3,连接DE,过 点C 作CF∥DE,交AB 的延长线于点F, 则BF 的长为 ( ) (第6题) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图,在 四 边 形 ABCD 中,DE⊥AC, BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长 DE, BF,分别交AB,CD 于点H,G,AD∥BC, AE=CF. (1) 求证:四边形ABCD 为平行四边形. (2) 若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4, 求AD 的长. (第7题) 类型七 相关综合性问题 8. 如图,在▱ABCD 中,AE,CF 分别平分 ∠BAD 和∠BCD,AC,EF 相交于点O. (1) AC 与EF 互相平分吗? 请说明理由. (2) 若∠B=60°,BE=2CE,AB=4,求四 边形AECF 的周长和面积. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 数学(沪科版)八年级下 ∴ AB=CE. 又∵ AB∥CE, ∴ 四边形ABEC是平行四边形. ∴ F 是▱ABEC的对角线的交点. ∴ F 是BC的中点. 又∵ O 是AC的中点, ∴ OF 是△ABC的中位线. ∴ AB=2OF. ∵ AB=CD=CE, ∴ DE=2CD=2AB=4OF. 证明线段倍数关系的方法 由于三角形的中位线等于三角 形第三边的一半,因此当需要证明 某一线段是另一线段的一半或者两 倍,且题目中出现了中点时,常先证 明这个一半的线段是某个三角形的 中位线,再用三角形中位线定理来 证明. 11. (1) ∵ BD=CD, ∴ ∠1=∠BCD. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠BCD=∠2. ∴ CD∥AB. (2) ∵ CD∥AB, ∴ ∠CDA=∠3. 由(1)知,∠1=∠BCD. 又∵ ∠1=∠3, ∴ ∠CDA=∠BCD. ∴ DE=CE. ∵ ∠2=∠3, ∴ BE=AE. 在△BDE 和△ACE 中, DE=CE, ∠DEB=∠CEA, BE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△ACE. (3) 由(2),知△BDE≌△ACE. ∴ ∠1=∠4,∠BDE=∠ACE=90°. ∴ ∠ACH=90°-∠BCH. 又∵ CH⊥AB,即∠BHC=90°, ∴ ∠2=90°-