第18章整合特训-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（沪科版）

第18章整合特训 考点一 勾股定理的证明 1. 4个全等的直角三角形的直角边分别为a, b,斜边为c.现把它们拼合,可以得到如图 所示的图形,利用这个图形可以证明勾股 定理,你能写出这个证明吗? (第1题) 考点二 与勾股定理有关的计算或证明 2. 在△ABC 中,∠C=90°,BC=23+1, AC=23-1.求AB 的长及△ABC 的 面积. 3. 如图,∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB 于 点P,求证:BP2=AP2+BC2. (第3题) 考点三 与勾股数有关的计算或证明 4. 阅读以下材料: 能够成为直角三角形的三条边长的三个正 整数a,b,c称为勾股数.世界上第一次给 出勾股数通解公式的是我国古代数学著作 《九章算术》,其公式为 a=12 (m2-n2), b=mn, c=12 (m2+n2). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 其中m>n>0,m,n是互质的奇数. 根据以上材料解答问题:当n=1时,求有 一边长为5的直角三角形的另外两条 边长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 第18章　勾股定理 5. 如图,△ABC 与△DBE 都是等边三角形, AD,BD,CD 的长是一组勾股数,且边CD 最长. (1) 求证:DE2+CE2=CD2. (2) 求∠ADB 的度数. (第5题) 考点四 勾股定理的逆定理及应用 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC=13,D 是 AB 上一点,且CD=12,BD=8.求BC 的长. (第6题) 7. ★ 小宇准备用一段长30m的篱笆围成一 个三角形区域,用于饲养家禽.已知第一条 边长为am,受地势限制,第二条边长只能 是第一条边长的2倍多2m. (1) 求第三条边长. (2) 第一条边长可以为7m吗? 如果可 以,请说明理由;如果不可以,请求出a的 取值范围. (3) 能否使围成的三角形区域的形状是直 角三角形,且各边长均为整数? 若能,请说 明你的围法;若不能,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 数学(沪科版)八年级下 专题特训四　巧用勾股定理 解决问题 1. (1) 根 据 勾 股 定 理,得 AB= 52+12= 26,AD= 42+12= 17,CD= 22+12 = 5,BC= 42+22=25, 故四边形 ABCD 的 周 长 为AB+ AD+CD+BC= 26+35+ 17; 面积为5×5-12×1×5- 1 2×1× 4-12-12×1×2- 1 2×2×4=14.5. (2) ∵ BC=25,CD= 5,BD= 42+32=5,∴ BC2+CD2=BD2. ∴ △BCD 是直角三角形. 求不规则图形的面积的方法 求不规则图形的面积时,常采 用割补法,即先把不规则图形分割 或拼补成规则图形,再利用规则图 形的面积的和或差,求出不规则图 形的面积. 2. 如图,取AB 的中点O,过点D 作 DE⊥AB 于点E. 由题意,得OA=OB=AD=BC. 设OA=OB=AD=BC=r 寸,则 AB =2r 寸,DE =10寸,OE = 1 2CD=1 寸,AE=(r-1)寸. 在Rt△ADE 中,AE2+DE2=AD2, 即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5. ∴ AB=2×50.5=101(寸). (第2题) 3. (1) △BDE 是等腰三角形. 理由:由折叠可知,∠CBD=∠EBD. ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠CBD=∠EDB. ∴ ∠EBD=∠EDB. ∴ BE=DE,即△BDE是等腰三角形. (2) 设DE=x,则BE=x,AE=18-x. 在 Rt△ABE 中,由 勾 股 定 理,得 AB2+AE2=BE2, ∴ 6