专题特训四 巧用勾股定理解决问题-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（沪科版）

专题特训四　巧用勾股定理解决问题 类型一 巧用勾股定理解决网格问题 1. ★ 如图,每个小正方形的边长都为1. (1) 求四边形ABCD 的周长及面积. (2) 连接BD,判断△BCD 的形状. (第1题) 类型二 巧用勾股定理解决古代数学问题 2. 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中 记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思) 一尺,不合二寸,问门广几何? 题目大意 是:推开双门,双门间隙CD 的距离为 2寸,点C 和点D 与门槛AB 的距离都为 1尺(1尺=10寸),其示意图如图所示,求 AB 的长. (第2题) 类型三 巧用勾股定理解决折叠问题 3. 如图,将长方形ABCD 沿着对角线BD 折 叠,使点C落在点C'处,BC'交AD 于点E. (1) 试判断△BDE 的形状,并说明理由. (2) 若 AB=6,BC=18,求△BDE 的 面积. (第3题) 类型四 巧用勾股定理解决动点问题 4. 如图,在Rt△ABC 中,AB=6cm,BC= 8cm.点P从点A 出发,沿边AB以1cm/s 的速度向点B 运动,点Q 从点B 同时出 发,沿边BC 以2cm/s的速度向点C 运 动.规定其中一个动点到达终点时,另一个 动点也随之停止运动.问当运动几秒时, P,Q 两点间的距离是42cm? (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 第18章　勾股定理 类型五 巧用勾股定理解决最值问题 5. 如图,在平面直角坐标系中,点A(0,7), B(8,1),C(x,0),且0<x<8,连接AB, AC,BC. (1) 求线段AB 的长. (2) 请用含x 的代数式表示AC+BC 的值. (3) 求AC+BC 的最小值. (第5题) 类型六 巧用勾股定理解决规律探究问题 6. 细心观察图形(如图),认真分析各式,然后 回答问题: OA21=1, OA22=(1)2+12=2, S1= 1 2 , OA23=(2)2+12=3, S2= 2 2 , OA24=(3)2+12=4, S3= 3 2 , … … (1) 推算出OA10的长和S10的值. (2) 直接用含n(n为正整数)的式子表示 OAn 的长和Sn 的值. (3) 求S21+S22+S23+…+S210的值. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 数学(沪科版)八年级下 专题特训四　巧用勾股定理 解决问题 1. (1) 根 据 勾 股 定 理,得 AB= 52+12= 26,AD= 42+12= 17,CD= 22+12 = 5,BC= 42+22=25, 故四边形 ABCD 的 周 长 为AB+ AD+CD+BC= 26+35+ 17; 面积为5×5-12×1×5- 1 2×1× 4-12-12×1×2- 1 2×2×4=14.5. (2) ∵ BC=25,CD= 5,BD= 42+32=5,∴ BC2+CD2=BD2. ∴ △BCD 是直角三角形. 求不规则图形的面积的方法 求不规则图形的面积时,常采 用割补法,即先把不规则图形分割 或拼补成规则图形,再利用规则图 形的面积的和或差,求出不规则图 形的面积. 2. 如图,取AB 的中点O,过点D 作 DE⊥AB 于点E. 由题意,得OA=OB=AD=BC. 设OA=OB=AD=BC=r 寸,则 AB =2r 寸,DE =10寸,OE = 1 2CD=1 寸,AE=(r-1)寸. 在Rt△ADE 中,AE2+DE2=AD2, 即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5. ∴ AB=2×50.5=101(寸). (第2题) 3. (1) △BDE 是等腰三角形. 理由:由折叠可知,∠CBD=∠EBD. ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴