6.4 多边形的内角和与外角和（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

6.4 多边形的内角和与外角和 第六章 平行四边形 优翼八下数学教学课件（BS） 法国的建筑事务所 atelierd 将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”. 思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 情景引入 导入新课 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度？ 问题1 三角形的内角和是多少度？ 三角形内角和是180°. 都是 360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度. 多边形的内角和 新课讲授 猜想：任意四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题4 你能用以前学过的知识证明一下这个猜想吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接 AC， 则四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 则该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. A B C D E 方法3：如图，在四边形 ABCD 内部取一点 E， 连接 AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE. 所以四边形 ABCD 内角和为： 180°×4 - (∠AEB + ∠AED +∠CED +∠CEB) = 180°×4 - 360° = 360°. A B C D E A B C D P 方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3－180° = 360°. 这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360°. 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°. ∠A +∠B +∠C +∠D = 360°， 因为 ∠B +∠D = 360°－(∠A +∠C) = 360°－180° = 180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 【变式题】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF， 求证：△DCF 为直角三角形． 证明：在四边形 ABCD 中，∵∠A 与∠C 互补， ∴∠ABC +∠ADC = 180°. ∵ BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC， ∴∠CDF +∠EBF = 90°. ∵ BE∥DF，∴∠EBF =∠CFD. ∴∠CDF +∠CFD = 90°. 故△DCF 为直角三角形． 运用了整体思想 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? A C D E B A B C D E F 内角和为 180°×3 = 540°. 内角和为 180°×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 (n - 2)·180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ······ ··· 由特殊到一般 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°. 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为 n，则 (n - 2)•180 = 360 + 720， 解得 n = 8. ∵ 这个多边形的每个内角都相等， (8 - 2)×180° = 1080°， ∴它每一个内角的度数为 1080°÷8 = 135°. 例3 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数． 解析：根据五边形的内角和 等于 540