第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 ★[课程标准] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 　　方法 位置关系　　　 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝，则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2 的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝r1－r2 0＜d＜ |r1－r2| (2)代数法： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，两圆的方程联立得方程组，则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 　相交　 　外切　或　内切　 　外离　或　内含　 　　 1．两圆的位置关系与公切线的条数 (1)内含：0条；(2)内切：1条；(3)相交：2条；(4)外切：3条；(5)外离：4条． 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 3．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (6)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2023·西安市调研)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1]　　 B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：C　[由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.] 2．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1或2 D．1或－2 解析：C　[由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2.] 3．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为　________　. 解析：由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得圆心C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2. 答