第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ★[课程标准] 1．理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素． 1．一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图 象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x, y值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程． 2．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0　 记法 α 图示 范围 [0，π) 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的　倾斜程度　，倾斜角越接近，　倾斜程度　越大 3.直线的斜率 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx　≠　0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝反映了直线l的倾斜程度． 由图可知，k＝的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝　　(其中x1　≠　x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 4．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝　tan α　(其中α≠，0≤α＜π)． (2)结合正切函数的图象与性质，发现斜率k与倾斜角α有如下关系： 图示 倾斜角 (范围) α＝0 α＝ 斜率 (范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．向量是直线l的方向向量，它的坐标是　(x2－x1，y2－y1)　，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)．若k是直线l的斜率，则＝(1，　k　)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 5．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不含直线x＝x0 斜截式 　y＝kx＋b　 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)　 平面直角坐标系内的直线都适用 点法式 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 平面直角坐标系内的直线都适用 　　 1．线段的中点坐标公式：若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 2．谨防3种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (3)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (4)过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．(　　) (5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× (6)√ ◆[小题查验] 1．过点M(－2，a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1)，则a的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．4 C．1或3 D．1或4 解析：A　[由题意得＝1，得a＝1.] 2．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为　________　. 解析：由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，∴α＝或. 答案：或 3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　) 解析：B　[当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．] 4．(忽视截距为零致误)过点P(2,3