第一章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式的概念 (1)一般地，只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫作一元二次不等式． (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的　值　组成的　集合　叫作这个一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　{x|x＜x1，或x＞x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 　{x|x1＜x＜x2}　 　∅　 　∅　 　　 1．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (1)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. (2)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. (3)≥0等价于 (4)≤0等价于 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 3．关注点 ①对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． ②当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．不等式－x2－2x＋3＜0的解集为(　　) A．{x|－3＜x＜1}　　 B．{x|－1＜x＜3} C．{x|x＜－3或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞3} 解析：C　[不等式变形为x2＋2x－3>0，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，即不等式－x2－2x＋3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}．] 2．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝(　　) A．2　　 B．3　 C．4　　 D．5 解析：A　[根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.] 3．(忽视不等式性质致误)不等式≤2的解集是(　　) A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞) B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞) C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞) D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) 解析：B　[原不等式可化为：－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2， 所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞)．] 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3＜0}，那么集合A∪B＝(　　) A．R B．{x|x＞－1} C．{x|x＜3或x＞9} D．{x|x＜－1或x＞3} 解析：C　[A＝{x|x＞9或x＜0}, B＝{x|－1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|x＜3或x＞9}．] 5．(忽视m为零的讨论)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是　______　. 解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m≠0时，得0<m<4.综上，0≤m<4. 答案：[0,4) 　 一元二次不等式的解法 ►[命题点1]　不含参数的一元二次不等式的解法　 [典例1]　(1)(2023·河北模拟)已知集合A＝{