第一章 第3节 第2课时 基本不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2课时　基本不等式 ★[课程标准] 1．掌握基本不等式≤(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个非负实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当　x＝y　时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当　x＝y　时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)． 　　 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a＜0，b＜0，则＋≥2＝2 B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2 C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4 D．若x为负实数，则2x＋2－x≥2＝2 解析：AD　[由a＜0，b＜0，可得>0，>0，则由基本不等式可得，＋≥2＝2，故A正确；x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4，C错误；x＜0时，2x＞0，由基本不等式可得，2x＋2－x≥2，故D正确．] 2．函数y＝x＋的值域为(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R 解析：C　[由题意，函数y＝x＋的定义域为{x|x≠0}． 当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当x＝1时取得等号；当x<0时，y＝x＋＝－ ≤－2＝2，当x＝－1时取得等号．综上，函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.] 3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋　　　　　　 B．1＋ C．3 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取最小值时，即a＝3，故选C.] 4．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是　________　. 解析：因为＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当y＝，x＝时成立． 答案：8 5．(忽视等号是否成立)函数y＝的最小值为　________　. 解析：y＝＝＝＋， 令t＝≥2，y＝t＋在t≥2时是单调递增的，∴y＝t＋≥2＋＝.故函数的最小值是. 答案： 　 利用基本不等式求最值 ►[命题点1]　通过配凑法利用基本不等式　 [典例1]　(1)(2023·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　 B.　 C.　　　 D. [解析]　[因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．] [答案]　B (2)(2023·山东师范大学附中模拟)若－1＜x＜1，则y＝有(　　) A．最大值－1 B．最小值－1 C．最大值1 D．最小值1 [解析]　[因为－1＜x＜1，则0＜1－x＜2， 于是得y＝－·＝－ ≤－·2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时取“＝”，所以当x＝0时，y＝有最大值－1.故选A.] [答案]　A 　　 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． ►[命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式　 [典例2]　(1)(2023·河南夏邑模拟)已知x，y均为正数，若＋＝1，则当3x＋y取得最小值时，x＋y的值为(　　) A．16 B．4 C．24 D．12 [解析]　因为＋＝1， 所以3x＋y＝(3x＋y)＝6＋＋＋6