第一章 第3节 第1课时 不等式的性质-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　不等式 第1课时　不等式的性质 ★[课程标准] 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 性质1 如果a＞b且b＞c，那么a＞c ⇒ 性质2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c ⇔ 性质3 如果a＞b，c>0那么ac>bc； 如果a＞b，c＜0那么ac＜bc c的符号 性质4 如果a＞b，c>d，那么a＋c＞b＋d ⇒ 性质5 如果a>b>0，c>d>0，那么ac＞bd 如果a>b>0，c＜d＜0，那么ac＜bd ⇒ 性质6 当a＞b＞0时，＞(n∈N＋，n≥2) a，b同为正数 　　 不等式的一些常用性质 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　) (5)若ab＞0，则a＞b⇔＜.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N　　　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.] 2．若a，b都是实数，则“－＞0”是a2－b2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[－＞0⇒a＞b≥0⇒a2＞b2⇒a2－b2＞0，反之不成立，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．] 3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则> 解析：BD　[根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故A错误；∵a＞b，∴由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由a＞0＞b，取a＝1，b＝－1，则a2＜－ab不成立，故C错误；∵c＞a＞b＞0，∴(a－b)c＞0，∴ac－ab＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，∵c－a＞0，c－b＞0，∴>，故D正确．故选BD.] 4．若a＜b，则下列结论正确的是(　　) A．a3－b3＞0 B．2a＜2b C．ln(a－b)＞0 D．|a|＜|b| 解析：B　[对于A，构造函数f(x)＝x3，因为f(x)＝x3单调递增，又∵a＜b，所以f(a)＜f(b)， ∴a3＜b3，∴a3－b3＜0，故A不对；对于B ，构造函数f(x)＝2x，因为f(x)＝2x单调递增，又∵a＜b，所以f(a)＜f(b)，∴2a＜2b，故B正确；对于C，∵a＜b，∴ln(a－b)没有意义，故C不对；对于D，取a＝－1，b＝1时，|a|＝|b|，故D不对．] 5．(忽视不等式的性质致误)若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是　________　. 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2， ∴－1<a－b<2. 答案：(－1,2) 　　　 比较两个数(式)的大小 [典例]　 (1)(2023·重庆模拟)若0＜b＜a＜，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　) A．x＜z＜y　　　　　 B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x [解析]　∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb， ∴y－z＝a(ea－eb)， 又a＞b＞0，e＞1，∴ea＞eb，∴y＞z， z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a＞b＞0，eb＞1∴z＞x， 综上：x＜z＜y，故选A. [答案]　A (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为　________　. [解析]　法一：M－N＝－ ＝ ＝＝＞0， ∴M＞N. 法二：令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 022)>f(2 023)，即M>N. [答案]　M>N 　　 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．