第五章 热点强化课6 数列的综合问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、求和公式等，常以等差、等比数列综合命题，或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通项、求和等问题． 　　　数列与数学文化 [例1]　(2023·湖南一模)在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于R0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……)，那么感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要的天数为(参考数据：36＝729,45＝1 024)(　　) A．35　　 B．42　 C．49　　 D．56 [解析]　感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要n轮传染， 则每轮新增感染人数为R， 经过n轮传染，总共感染人数为：1＋R0＋R＋…＋R＝， ∵R0＝3，∴当感染人数增加到1 000人时，＝1 000，化简得3n＝667， 由35＝243,36＝729，故得n≈6，又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要6×7＝42天． [答案]　B ◆[通技法]　数列与数学文化解题3步骤 读懂题意 会脱去数学文化的背景，读懂题意 构建模型 由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型 求解模型 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式 1．(2023·山东青岛一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为a斤，设f(x)＝，则f(a)＝(　　) A．－5 B．7 C．13 D．26 解析：C　[由题意知：这个人原来持金为a斤， 第1关收税金为a斤；第2关收税金为··a＝·a斤； 第3关收税金为··a＝·a斤， 以此类推可得的，第4关收税金为·a斤，第5关收税金为·a斤， 所以a＋a＋a＋a＋a＝1， 即 ·a＝·a＝1，解得a＝， 又由f(x)＝，所以f＝10×＋1＝13.] 　　 　　等差数列与等比数列的综合问题 [例2]　(2022·浙江卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－1，公差d＞1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)． (1)若S4－2a2a3＋6＝0，求Sn； (2)若对于每个n∈N＋，存在实数cn，使an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列，求d的取值范围． [解]　(1)因为S4－2a2a3＋6＝0，a1＝－1， 所以－4＋6d－2(－1＋d)(－1＋2d)＋6＝0， 所以d2－3d＝0，又d＞1， 所以d＝3，所以an＝3n－4，所以Sn＝＝. (2)因为an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列， 所以(an＋1＋4cn)2＝(an＋cn)(an＋2＋15cn)， (nd－1＋4cn)2＝(－1＋nd－d＋cn)(－1＋nd＋d＋15cn)， c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0， 由已知方程c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0的判别式大于等于0， 所以Δ＝(14d－8nd＋8)2－4d2≥0， 所以(16d－8nd＋8)(12d－8nd＋8)≥0对于任意的n∈N＋恒成立， 所以[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]≥0对于任意的n∈N＋恒成立， 当n＝1时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]＝(d＋1)(d＋2)≥0， 当n＝2时，由(2d－2d－1)(4d－3d－2)≥0，可得d≤2， 当n≥3时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]＞(n－3)(2n－5)≥0， 又d＞1，所以1＜d≥2. ◆[通技法]　等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式，前n项和公式求解．求解时注意对性质的灵活运用． 2．(2023·滨州模拟)已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4. (1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an