第五章 第4节 数列求和-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　数列求和 ★[课程标准] 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 3．掌握数列在实际中的应用． 　求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝　　＝　na1＋d　. ②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝1时，Sn＝　na1　； (ⅱ)当q≠1时，Sn＝　　＝　　. (2)分组转化法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先分别求和，然后再合并，形如： ①{an±bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列； ②an＝ (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消，剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．形如：{an·bn}，，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 　　 一些常见数列的前n项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5.(　　) (5)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．Sn＝2an－1　　　　 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 解析：D　[法一：在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an. 法二：在等比数列{an}中，a1＝1，q＝， ∴an＝1×n－1＝n－1. Sn＝＝3 ＝3＝3－2an.] 2．(2023·日照质检)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项和S100＝(　　) A．200　 B．－200　 C．400　 D．－400 解析：B　[S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，∴ ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.] 4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝　________　. 解析：当n＝2k(k∈N＋)时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)] ＝2＋2＋…＋2＝2k＝n. 当n＝2k－1(k∈N＋)时， Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n， ∴Sn＝＝(－1)nn. 答案：(－1)nn 5．(绝对值数列理解致误)在等差数列{an}中，an＝3n－31，记bn＝|an|，则数列{bn}的前30项和为　______　. 解析：S30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＋(a11＋a12＋a13＋…＋a30)＝－＋＝755. 答案：755 　　 　公式法求和 1．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．n(n＋1)　　　　　　 B. n(n－1) C. D. 解析：A　[因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·