第五章 第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　等比数列及其前n项和 ★[课程标准] 1．通过实例，理解等比数列的概念． 2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比值　都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G2＝　ab　，即G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)；通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的增减性 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝·qn.根据指数函数的增减性，可分析当q＞0时等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 数列{an} 的增减性 　递减　 　数列　 常 数列 　递增　 　数列　 　递增　 　数列　 常数列 　递减　 　数列　 4.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋l，则aman＝　apal　，其中m，n，p，l∈N＋，特别地，若2k＝p＋l，则apal＝a，其中p，q，l∈N＋. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　(k，m∈N＋)． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为　qn　. 　　 设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·mbn}和(其中b，p，m是非零常数)也是等比数列． 2．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 4．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A.　　　　　　 B．{log2a} C．{an＋an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2} 答案：AD 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　 B．12　 C．6　　 D．3 解析：D　[设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，由题意得， 即， 即，解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.] 3．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：B　[由题可知当数列为－2，－4，－8，…时，满足q＞0， 但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{Sn}是递增数列，则必有an＞0成立，若q＞0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q＞0成立，所以甲是乙的必要条件．] 4．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝　________　. 解析：当a＝1时，an＝1，Sn＝n; 当a≠1时，Sn＝.∴Sn＝a≠1. 答案： 5．等比数列{an}