第五章 第2节 等差数列及其前n项和-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　等差数列及其前n项和 ★[课程标准] 1．通过实例，理解等差数列的概念． 2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：对于一个数列，如果从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的　公差　，通常用字母　d　表示． 符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 　A　叫作 　a与b　的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 推广：①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． ②等差数列的通项公式与函数的关系an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数． ③数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关系：Sn＝n2＋n ，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0. ②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q ∈N＋)．特别地，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N＋)． (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是　递增　数列；当d＜0时，{an}是　递减　数列；当d＝0时，{an}是　常数列　. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…，仍是等差数列，公差为　md　(k，m∈N＋)． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． 4．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最　大　值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最　小　值． 　　 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． 1．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2.也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的. 3．在等差数列{an}中， (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝. (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. 4．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝. 5．若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 6．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数．(　　) (5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为(　　) A．90　　 B．100　 C．487　　 D．505 解析：C　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.] 2．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6 解析：ABC　[对于A，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋