第五章 第1节 数列的概念及其函数特性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　数列的概念及其函数特性 ★[课程标准] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的概念 (1)数列的定义：按　一定次序　排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． (2)数列与函数的关系：数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是　列表法　、　图象法　和　通项公式法　. 2．数列的分类 分类原则 名称 含义 举例 按项数 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,4，…，n 无穷数列 项数无限的数列 1,4,9，…，n2，… 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　an＝f(n)　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数. 4．数列的单调性定义 (1)一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列． (2)如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列． (3)如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 　　 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 累加法 a1＝1， an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 累乘法 a1＝1，an＋1 ＝2nan an＋1＝pan＋ q(p≠0,1，q≠0) 化为等 比数列 a1＝1， an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) 化为等 差数列 a1＝1，an＋1 ＝3an＋3n＋1 其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝. (2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　　) (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A.　　 B.　 C.　　　D. 解析：B　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.] 2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 解析：D　[令an＝n2－8n＋15＝3， 整理可得n2－8n＋12＝0， 解得n＝2或n＝6. 故3是数列{an}中的第2项或第6项，故选D.] 3．数列，，，，…中，有序实数对(a，b)可以是(　　) A．(21，－5) B．(16，－1) C. D. 解析：D　[由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2， 解得a＝，b＝－.故选D.] 4．(忽略n＝1的讨论致误)已知Sn＝2n＋3，则an＝　________　. 解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝ 答案： 5．(忽略数列与函数的区别致错)已知数列an＝n2－tn＋2是递增数列，则实数t的取值范围是　________　. 解析：依题意，an＋1＞an，即(n＋1)2－t(n＋1)＋2＞n2－tn＋2，得t＜2n＋1，又2n＋1≥3，∴t＜3. 答案：(－∞，3) 　 　　　由an与Sn的关系求通项公式an 1．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2n＋1，则{an}的通项公式是an＝　________　. 解析： 因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1