第四章 第6节 正弦定理和余弦定理及应用举例-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第6节　正弦定理和余弦定理及应用举例 ★[课程标准] 1．掌握余弦定理、正弦定理及其变形． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的三角形度量问题． 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝　　＝　　＝2R a2＝　b2＋c2－2bccos A　； b2＝　c2＋a2－2cacos B　； c2＝　a2＋b2－2abcos C　 常 见 变 形 (1)a＝2Rsin A，b＝　2Rsin B　，c＝　2Rsin C　； (2)sin A＝，sin B＝　　，sin C＝； (3)a∶b∶c＝　sin A∶sin B∶sin C　； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝　　； cos B＝　　； cos C＝　　 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 3．测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角 与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 　　 在△ABC中，常用以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B; b＝acos C＋ccos A; c＝bcos A＋acos B. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.(　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　 (4)√ ◆[小题查验] 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A.　　 B. C.　　　 D. 解析：C　[在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C.] 2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：A　[∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab， ∴cos C＝＝－<0，即90°<C<180°. ∴△ABC是钝角三角形．故选A.] 3．(解三角形时漏解致误)(多选)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则角A为(　　) A．60° B．120° C．75° D．30° 解析：AB　[由正弦定理＝，得sin A＝，因为，a＞b，所以A＝60°或A＝120°.] 4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于　________　. 解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2. 答案：2 5．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为　________　 m. 解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30