第四章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用 ★[课程标准] 1．结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的几个相关的概念 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)， x∈R A T＝ f＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如图： x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 　　 1．函数的周期与图象的对称性之间的关系． (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期． 2．对称轴(对称中心)与函数值的关系． 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．(　　) (4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　　) (5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 解析：A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除BD.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.] 2．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：D　[函数图象平移满足左加右减，y＝2sin＝2sin，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到y＝2sin 3x的图象．故本题选D.] 3．(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 解析：BC　[由f(0)>0，排除D；由T＝π，排除A，因此选BC.] 4．(忽视整体化思想致误)若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝　________　. 解析：由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin ＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝. 答案： 5．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况： 月份x 1 2 3 4 收购价格y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为　________　. 解析：设y＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝， 所以y＝sin＋6. 因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， 所以y＝sin＋6. 答案：y＝sin＋6 　　　 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1．(2023·陕西省洛南中学模拟)已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则g(x)的解析式是(　　) A．y＝2sin＋1 B．y＝2sin＋1 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 解析：A　[由图象可得，解得A＝2，k＝1，由正弦型图象性质可得＝－＝， 所以T＝＝π，解得ω＝2，又2