第四章 第3节 三角恒等变换-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　三角恒等变换 ★[课程标准] 1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆) 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝　sin αcos β＋cos αsin β　；(Sα＋β) sin(α－β)＝　sin αcos β－cos αsin β　；(Sα－β) cos(α＋β)＝　cos αcos β－sin αsin β　；(Cα＋β) cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　；(Cα－β) tan(α＋β)＝；(Tα＋β) tan(α－β)＝.(Tα－β) 2．三角函数的叠加 一般地，当a，b不同时为0时，asin α＋bcos α＝.引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ.所以asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)， 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 3．积化和差公式和和差化积公式 积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． (2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． (3)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． (4)sin αsin β＝　－[cos(α＋β)－cos(α－β)]　. 和差化积公式 (1)sin x＋sin y＝2sin cos ； (2)sin x－sin y＝2cos sin ； (3)cos x＋cos y＝2cos cos ； (4)cos x－cos y＝　－2sin sin 　. 4．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α) tan 2α＝.(T2α) 5．半角公式 sin ＝± ，cos ＝± ， tan ＝± ＝＝. 　　 常用的三角公式变形 1．1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) 2．1±sin α＝2.(升幂公式) 3．sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 4．asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 5．两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝ .(　　) (5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝(　　) A.　　 B. C.　　　 D．1 解析：B　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.] 2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：C　[∵α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝－.] 3．(多选)下列各式的值正确的是(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．cos2－sin2＝ C.＝1 D．2cos222.5°－1＝ 解析：BD　[sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.A不正确；cos2－sin2＝cos＝，B正确；＝tan 45°＝，C不正确； 2cos222.5°－1＝cos 45°＝，D正确．] 4．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋3，则f(x)的最小正