第十章 热点强化课10 概率统计与其他知识的交汇问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

1．概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力． 2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是概率统计与数列、不等式、函数、导数等内容相互渗透，背景新颖． 　 　　概率统计与数列的交汇 [例1]　(2023·重庆市模拟)为有效防控新冠病毒从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行(达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周)，并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为pn. (1)求p2； (2)证明：为等比数列； (3)求数列{pn}的前n项和Tn，并说明Tn的实际意义． [解]　(1)p2＝×＋×＝； (2)证明：由题得pn＝(1－pn－1)·＋pn－1·＝＋pn－1， ∴pn－＝， 又p1－＝≠0，∴数列是以为首项、为公比的等比数列； (3)由(2)知pn－＝·， 故pn＝＋· 从而Tn＝n＋·＝n＋， 由于pn可以理解为第n次航班平均被熔断的次数， ∴Tn表示前n次航班一共被熔断的次数． ◆[通技法] 高考中常将概率统计与数列综合命题，解题时注意将概率的参数表达式与数列递推式相结合，可得数列的通项公式，使问题得解． 1．(2023·山东潍坊高三阶模拟)学校篮球队30名同学按照1,2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m(1≤m≤28，m∈N)号同学得到球后传给m＋1号同学的概率为，传给m＋2号同学的概率为，直到传到第29号(投篮练习)或第30号(投篮练习)时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第n(2≤n≤30，n∈N)号的概率为Pn. (1)求P4的值； (2)证明：{Pn＋1－Pn}(2≤n≤28)是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 解：(1)依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为××＝； 1号传2号传4号其概率为×＝；1号传3号传4号其概率为×＝， 因此P4＝＋＋＝. (2)依题意篮球传到第n－2号，再传给n号其概率为Pn－2； 篮球传到第n－1号，再传给n号其概率为Pn－1，因此有Pn＝Pn－1＋Pn－2， 可得Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，且P3－P2＝－＝， 所以{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列． (3)P2＝，P3＝，Pn＋1－Pn＝n－2，Pn－Pn－1＝n－3(n≥2)， P4－P3＝，P3－P2＝， 由累加法，可得Pn＝P2＋ ＝＋×＝＋×n－1, 所以P29＝＋×28，P30＝P28·＝， 所以29号投篮命中的概率为 × 30号投篮命中的概率为××＜×， 因为×28＞0＞×27，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 　　　概率统计与不等式的综合 [例2]　(2023·全国模拟)北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生．若从中随机抽取n(n∈N＋，n≤20)名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数． (1)若n＝2，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，X＝1的概率取得最大值？最大值是多少？ [解]　(1)当n＝2时，X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝. (2)X＝1的概率为P(X＝1)＝＝，1≤n≤20，且n∈N＋. 因为n(20－n)≤2＝100，当且仅当n＝20－n，即n＝10时等号成立， 所以当n＝10时，X＝1的概率P(X＝1)取最大值，最大值是. ◆[通技法] 高考中常将概率统计与不等式综合命题，解题时注意将概率的参数表达式与不等式相结合，可得变量范围和最值，使问题得解． 2．(2023·潍坊模拟)2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的