第十章 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第7节　二项分布、超几何分布与正态分布 ★[课程标准] 1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 3．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 一、n重伯努利试验 1．伯努利试验：把只包含　两个　可能结果的试验叫作伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次，且每次实验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为　n重伯努利试验　. 2．n重伯努利试验的特征 (1)同一个伯努利试验重复做　n　次； (2)各次试验的结果　相互独立　. 二、二项分布 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1)，用X表示这n次试验中成功的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝　Cpk(1－p)n－k　，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作　X～B(n，p)　. 2．二项分布的均值与方差：如果X～B(n, p)，那么EX＝　np　，DX＝　np(1－p)　. 三、超几何分布 1．定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝　　，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 公式中的k可以取的最小值为max{0，n－(N－M)}，而不一定是　0　. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 2．服从超几何分布的均值 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝　　. 四、正态分布 1．定义：由误差引起的　连续　型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝　　，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为　正态曲线　. 2．正态分布的特点 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用　P(a＜X≤b)　来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b]对应的　曲边梯形面积　的值(如图所示)． 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为　X～N(μ，σ2)　，其中EX＝　μ　，DX＝　σ2　. 3．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的　上　方，与x轴　不相交　. (2)曲线是　单峰　的，关于直线　x＝μ　对称． (3)曲线的最高点位于x＝　μ　处． (4)当x＜μ时，曲线　上升　；当x＞μ时，曲线　下降　；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为　渐近线　(如图所示)． 因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的　位置　由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴　平移　. ②当μ一定时，曲线的　形状　由σ确定，σ越大，曲线越“　矮胖　”，表示总体的分布越　分散　；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越　集中　. 4．3σ原则 如图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ＞0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 因此，随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3%，95.4%,99.7%.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是　不可能发生的　，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为　3σ　原则． ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　　) (2) 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　) (5)当μ一定时，曲线的