第十章 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第6节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 ★[课程标准] 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 3．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 一、随机变量的概念与表示 1．随机变量概念：取值随着　试验结果　的变化而变化的量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示． 2．离散型随机变量：取值能够　一一列举　出来的随机变量称为离散型随机变量． 二、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X 取xi的概率为　pi　(i＝1,2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝　pi　(i＝1,2，…，n，…)，该式也可以列成表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 上式称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列. 2．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi　＞　0(i＝1,2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝　1　. 三、两点分布 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为　1－p　，则称这样的试验为伯努利试验． 如果随机变量X的分布列如表： X 1 0 P p q 其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布)． 四、离散型随机变量X的均值与方差 1．均值：定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称EX＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)． 2．方差：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的　偏离程度　，而DX＝E(X－EX)2 ＝ (xi－EX)2pi为这些偏离程度的　加权平均　，刻画了随机变量X与其均值EX的　平均偏离程度　.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX. 3．均值与方差的性质：①　E(aX＋b)　＝　aEX＋b　. ②D(X＋b)＝　DX　，D(aX)＝　a2DX　，D(aX＋b)＝　a2DX　. 五、离散型随机变量X的均值与方差的意义 1．均值的意义：均值EX刻画的是X取值的“　中心　位置”，反映了离散型随机变量X取值的　平均水平　，是随机变量X的一个重要特征． 2．方差的意义：随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度　越小　；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越　分散　. 　　 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　　) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．ξ＝4　 B．ξ＝5 C．ξ＝6　　 D．ξ≤5 解析：C　[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 故选C.] 2．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为(　　) X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是(　　) A．0.35 B．0.20 C．0.55 D．0.80 解析：C　[一次射击成绩为优秀的概率为0.35＋0.20＝0.55.] 3．(多选)设离散型随机变量X的概