第十章 第5节 条件概率与全概率公式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　条件概率与全概率公式 ★[课程标准] 1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率． 3．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 4．了解贝叶斯公式并会简单应用． 一、条件概率 1．定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． 2．一个结论：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有　P(B|A)＝P(B)　. 3．条件概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝　1　，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P[(B∪C)|A]＝　P(B|A)＋P(C|A)　； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝　1－P(B|A)　. 2．全概率公式 一般地，设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1, 2, …， n)，则对任意一个事件A，有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi) . 　　 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)不是一回事. P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率． 2．利用全概率公式解题 通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中． (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生． (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和． (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(AB)．(　　) (4)全概率公式解决由因索果问题．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　) A.　　 B.　 C.　　 D. 解析：A　[P(B|A)＝＝＝.] 2．已知事件A与B独立，当P(A)＞0时，若P(B|A)＝0.68，则P()＝(　　) A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 解析：C　[因事件A与B独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝＝＝P(B)，即P(B)＝0.68， 由对立事件概率公式得P()＝1－P(B)＝0.32.] 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　 [设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}， 则P(AB)＝×，P(A)＝，所以P(B|A)＝＝.] 4．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25 %,35%,40%，次品率分别为5 %,4%,2%.从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：C　[本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.] 5．(全概率公式应用致误)在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%,5%,4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是　________　. 解析：由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：6%×＋5%×＋4%×＝. 答案： 　　　求条件概率 1．(2023·河南驻马店模拟)端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则P(B|A)＝(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：C　[由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B,3个为腊肉馅为：a，b，c,4个为豆沙馅：1,2,3,4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为：AB，ab，ac，bc,12,13,14,23,24,34，所以n(A)＝10，事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34，所以n(AB)＝6，所以P(B|A)＝＝＝＝.] 2．(2023·江苏南京市秦