第十章 第4节 古典概型与事件的独立性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　古典概型与事件的独立性 ★[课程标准] 1．理解古典概型的定义及特点． 2．会应用古典概型的概率公式解决实际问题． 3．了解事件相互独立的含义． 4．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率． 一、古典概型 1．定义：一般地，若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数　有限　，即样本空间Ω为　有限样本空间　； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性　相等　. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝　＝　. 三、相互独立事件 1．定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率　没有影响　，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝　P(A)P(B)　. 3．性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都　相互独立　. 　　 1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键. 2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　) (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(　　) (4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　) (5)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．(　　) (6)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.] 2．(独立事件与互斥事件混淆致误)在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)＝P(B)＝，则(　　) A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥 C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立 解析：B　[若事件A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＞1，与0≤P(A＋B)≤1矛盾，所以P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误．] 3．(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[无放回随机抽取2张方法有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种，其中数字之积为4的倍数的是14,24,26,34,45,46共6种，P＝＝，故选C.] 4．(对事件的限制条件理解不正确致误)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是　______　. 解析：总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以所求概率P＝＝. 答案： 5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为　________　. 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 答案：0.38