第十章 第2节 二项式定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　二项式定理 ★[课程标准] 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理及相关概念 概念 公式(a＋b)n＝　Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)　称为二项式定理 二项 式系数 各项系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数 二项 式通项 Can－kbk称为二项展开式中第　k＋1　项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项 展开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N＋) 2.二项式系数的性质 (1)对称性 与　首末两端“等距离”　的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增减性与最大值：当k< 时，C随k的增加而　增大　；当k> 时，C随k的增加而　减小　. 当n是偶数时，中间一项　　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 　　与　　相等，且同时取得最大值． (3)二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝　2n　； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 　　 1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 4．(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1. (4)CC＋CC＋…＋CC＝C. (5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (5)C－2C＋3C－…＋(－1)n－1nC＝0.(　　) (6)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1.8的展开式中的中间项为(　　) A.　　　　　　　 B. C．－7 D． 解析：B　[由题意得中间项为C·()4·4＝故选B.] 2．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10　　 B．20 C．30　　 D．120 解析：B　[二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，所以二项展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，即T4＝C＝20.] 3．(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二项式n展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．27 D．－27 解析：A　[依题意，得二项式系数的和为2n＝8，所以n＝3，故二项式为3，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.] 4．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 5．在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数是　__________　. 解析：(1＋x)5的展开式中x4的系数为C＝5， (1－x)6的展开式中x4的系数为C＝15， 故在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数为20. 答案：20 　 　　　二项展开式中特定项或系数问题 1．二项式10的展开式中，项的系数是(　　) A.　　 B．－ C．15　　 D．－15 解析：B　[10的二项展开式的通项为Tr＋1＝C10－rr＝(－1)r22r－10C，令5－＝，得r＝3，所以项的系数是(－1)3·2－4·C＝－.故选B.] 2．(2022·上海卷)在12的展开式中，含项的系数为　________　 解析：12展开式的通项为Tr＋1＝C·(x3)12－rr＝C·x36－4r， 令36－4r＝－4，可得r＝10，因此，展开式中含项的系数