第十章 第1节 计数原理、排列与组合-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　计数原理、排列与组合 ★[课程标准] 1．理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)． 2．能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题． 3．理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题． 一、计数原理 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝　m1＋m2＋…＋mn　种方法．(也称“加法原理”) 分步乘法计数原理　完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝　m1·m2·…·mn　种方法．(也称“乘法原理”) 区别 各种方法彼此互斥，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事 二、排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的　顺序　排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素　为一组　，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的　个数　，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作　A　 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的　个数　，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作　C　 公 式 排列数公式：A＝　n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]　 组合数公式C＝ ＝ ＝ 性 质 A＝n(n－1) (n－2) ·…·2·1，记作n！.规定：①A＝1.②0！＝1 规定：C＝1. C＝C； C＋C＝C 备注 n，m∈N＋，并且m≤n n，m∈N＋，并且m≤n 　　 解决排列组合问题“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) (5)A＝nA.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3) ×　(4) √　(5)√ ◆[小题查验] 1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是(　　) A．5　　 B．6 C．11　　 D．30 解析：D　[根据分步乘法计数原理不同的取法种数为5×6＝30种．] 2．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(　　) A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 解析：C　[恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有AA＝72(种)坐法．故选C.] 3．(多选)已知A－A＋0！＝4，则m的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：CD　[因为A－A＋0！＝4，所以A－×6＋1＝4，所以A＝6， 其中m∈N，m≤3，而A＝1，A＝3，A＝A＝6，所以m的值可能是2或3.] 4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为　________　. 解析：分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法． 所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)． 答案：30 5．(重复计算或漏算导致错误)4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的方法为　________　 解析：4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列