第三章 热点强化课3 隐零点与极值点偏移问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

　　 隐零点问题 如果f′(x)是超越形式，f′(x)的零点是存在但无法求出，这时可采用虚设零点法．逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果． [例1]　已知函数f(x)＝(2aex－x)ex. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若对于任意的x∈R，f(x)＋≤0恒成立，求a的最小值． [解]　(1)因a＝0，所以f(x)＝－xex， f′(x)＝－(x＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝－1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＜0. 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，单调递减区间是(－1，＋∞)． (2)f′(x)＝4ae2x－(x＋1)ex＝－ex(x＋1－4aex)．因为∀x∈R，f(x)＋≤0， 又f(0)＝2a，所以2a＋≤0，则a＜0.令g(x)＝x＋1－4aex，则g(x)在R上单调递增．因为当x＜0时，g(x)＜x＋1－4a，所以g(4a－1)＜4a－1＋1－4a＝0.因为g(－1)＝－4ae－1＞0，所以∀x0∈(4a－1，－1)，使得g(x0)＝0且当x∈(－∞，x0)时，g(x)＜0，则f′(x)＞0，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，则f′(x)＜0， 所以f(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．故f(x)max＝f(x0)＝.由g(x0)＝x0＋1－＝0，得a＝. 由f(x)max＋≤0，得≥，即≥. 结合x0＋1＜0，得x－1≤8，所以－3≤x0≤－1.令h(x)＝(－3≤x≤1)．则h′(x)＝＞0，所以h(x)在[－3，－1)上单调递增，所以h(x)≥h(－3)＝，即a≥－.故a的最小值为－. 　　 (1)函数不等式恒成立问题，要注意应用必要条件探路，这样可以缩小参数的范围，减少分类讨论情况，甚至无需分类讨论； (2)含参函数的最值经常涉及到隐零点，要注意隐零点范围的确定，如(2)由f(x)max＋≤0确定出隐零点x0的范围，是解题的关键． [例2]　已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝e2x－ln(a＞0)． (1)设函数h(x)＝f(x＋1)－x－2，求h(x)的最大值； (2)证明：f(x)≤g(x)． 解：(1)因为h(x)＝ln(x＋1)－x(x＞－1)， 所以h′(x)＝－1＝－(x＞－1)． 当x∈(－1,0)时，h′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＜0. 所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，从而h(x)max＝h(0)＝0. (2)证明：原不等式等价于φ(x)＝e2x－aln x－2a－aln≥0， 则φ′(x)＝2e2x－＝，令m(x)＝2e2x－，则m′(x)＝4e2x＋＞0， 所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 令t(x)＝2xe2x－a，则t(0)＝－a＜0，t(a)＝2ae2a－a＝a(2e2a－1)＞0， 所以存在唯一x0∈(0，a)使得t(x0)＝－a＝0，即φ′(x0)＝－＝0， 当0＜x＜x0时，φ′(x)＜0；当x＞x0时，φ′(x)＞0， 此时φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 要证φ(x)≥0，即要证φ(x0)≥0. 于是原问题转化为证明不等式组 由－＝0，得＝，代入φ(x0)＝－ aln x0－2a－aln. 对＝两边取对数得ln x0＝ln －2x0，代入φ(x0)＝－aln x0－2a－aln，得φ(x0)＝＋2ax0－2a. 因为φ(x0)＝＋2ax0－2a≥2－2a＝0，当且仅当x0＝，a＝e时，等号成立， 所以f(x)≤g(x)． 　　 零点问题解题步骤 (1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的雾点范围还可以适当缩小． 　　 极值点偏移问题 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有对称性．若函数f(x)在x＝x0处取得极值，且函数y＝f(x)与直线y＝b交于A(x1，b)，B(x2，b)两点，则AB的中点为M，而往往x0≠.如图所示． 图1 极值点不偏移　　　图2　极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1、x2，且a＜x1＜x2＜b，(1)若≠x0，则称函数y＝f(x)在区间