第三章 第3节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数极值的概念 (1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值　都小于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的　极大值点　，其函数值f(x0)为函数的　极大值　. (2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值　都大于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的　极小值点　，其函数值f(x0)为函数的　极小值　. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果　左正右负　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果　左负右正　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． (4)得极值，由表得极大值与极小值． 3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. (2)将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为　最优化　问题． (2)应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下： 说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值． (3)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值． 　　 1．函数极值与导数的关系 (1)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ (6)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．4 解析：A　[由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．] 3．函数y＝xex的最小值是(　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 解析：C　[y′＝ex＋x·ex， 令y′＝0，则x＝－1， ∵x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0， ∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， ∴x＝－1时，ymin＝－，故选C.] 4．(忽视参数的检验致误)函数f(x)＝x3＋