第七章 热点强化课8 空间几何体的动态问题及探索性、开放性问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，一至两道选择题或填空题．小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计算能力．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算．重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力．热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等； 思想方法：(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题)；(2)数形结合(根据空间位置关系利用向量转化为代数运算)． 　　　立体几何中的折叠问题 [例1]　(2023·山西长治市第四中学校模拟)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC. (1)若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离． [解]　(1)AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时＝. 理由如下：当＝时，＝， 如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接ME，则＝＝， ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，∴MP綊EC， 故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME， 又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF， ∴CP∥平面ABEF. (2)设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x， 故VA－CDF＝××2×(6－x)×x ＝－(x－3)2＋3， ∴当x＝3时，VA－CDF有最大值，且最大值为3， 此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，DC＝2. ∴AD＝＝3， AC＝＝. 在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝，∴sin∠ADC＝， S△ACD＝·DC·AD·sin∠ADC＝3. 设点F到平面ACD的距离为h，VA－CDF＝VF－ACD， ·S△ACD·h＝3，解得h＝. 即点F到平面ACD的距离为. ◆[通技法]　(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． (3)解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段． 1．(2023·河北唐山模拟)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD＝4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边．若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2. (1)证明：AB⊥PA； (2)若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离． 解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，∴AB⊥AC. ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AB⊂平面ABC， ∴AB⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA. (2)由(1)知AB⊥AC，PC⊥平面ABC， 由题意可得PC＝2，AC＝AB＝4，AC⊥AB， 则BC＝4，PA＝＝2， ∵E为棱BC的中点，∴AE＝CE＝BC＝2， ∴PE＝＝2， 在△PAE中，AE＝2，PA＝2，PE＝2， ∴AE2＋PE2＝PA2，即AE⊥PE， 则△PAE的面积为×2×2＝2， 设点B到平面PAE的距离为h， ∵VB－PAE＝VP－ABE，∴×2h＝×××42×2，∴h＝.即点B到平面PAE的距离为. 　 　　立体几何中的轨迹问题 ►[命题点1] 由动点保持平行求轨迹　 [例2]　(2023·安徽省宣城中学模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱AA1、A1D1的中点，点P为底面四边形ABCD内(包括边界)的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为(　　) A．2　　　　　　　 B. C. D．2 [解析]　取BC的中点G，连接AG，D1G，AD1，如图所示，E、F分别是棱AA1、A1D1的中点，所以EF∥AD1， 又因为EF⊂平面BEF，AD1⊄平面BEF，所以AD1∥平面BEF. 因为FD1∥BG，FD1＝BG，所以四边形FBGD1为平行四边形， 所以FB∥GD1. 又因为FB⊂平面BEF，GD1⊄平面BEF，所以GD1∥平面BEF. 因为GD1∩AD1＝D1，所以平面AD1G∥平面BEF. 因为点P为底面四边形A