第七章 第6节 第1课时 用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第6节　向量在立体几何中的应用 第1课时　用向量方法讨论立体几何中的位置关系 ★[课程标准] 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 1．直线的方向向量与直线的向量表示 (1)点的向量表示 在空间中，取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．向量就是点P的位置向量． (2)直线的方向向量 如图，设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的　方向　向量．显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量　平行　于该直线． (3)直线的向量表示 空间中任意一条直线l的位置．可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定． 如图，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta.反之，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示． 2．平面的法向量及其应用 (1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量． (2)平面的向量表示式及平面的方程 设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α内的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P必有·n＝0. 反过来满足上式的点P都在平面α内，所以把上式称为平面α的一个向量表达式． 若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则由·n＝0得到A(x－x0)＋B(y－y0)，＋C(z－z0)＝0，叫作平面α的方程． 3．用向量方法研究立体几何中的位置关系 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 (1)l∥m或l与m重合⇔l∥m； (2)l∥α或l⊂α⇔l⊥n1； (3)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2； (4)l⊥m⇔l⊥m； (5)l⊥α⇔l∥n1； (6)α⊥β⇔n1⊥n2. 　　 1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量． 2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．(　　) (3)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　) (4)若n1，n2分别是两上不重合平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　) (5)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　 B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 解析：C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．] 2．(多选)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 解析：ABC　[DD1∥AA1，＝(0,0,1)，故A正确；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)．故C正确；点C1的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，故D错．] 3．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 解析：A　[因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥α，又A选项中P(2,3,3)，所以＝(1,4,1)，因此有n·＝6×1＋4×(－3)＋6×1＝0，故选A. ] 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 解析：B　[设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(