第七章 第5节 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　空间直角坐标系、空间向量及其运算 ★[课程标准] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴，y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz. (2)相关概念①坐标原点：　O　；②坐标轴：　x　轴(横轴)、　y　轴(纵轴)、　z　轴(竖轴)；③坐标平面：通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为　xOy　平面、　yOz　平面、　xOz　平面． (3)点的坐标表示 空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个　三元有序数组唯一　来刻画．三元有序数组(x, y, z)叫作点P在空间直角坐标系中点的坐标，记作P(x, y, z)，其中，x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． (4)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝. 特殊情况，空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝. 2．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有　大小　和　方向　的量叫作空间向量． (2)长度或模：空间向量的　大小　叫作空间向量的长度或模． (3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示. 表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用表示．②字母表示法：用字母a, b, c，…表示． 3．空间向量的有关概念 名称 定义 表示法 自由向量 与向量的起点无关 零向量 模为　0　的向量 0 单位向量 模为　1　的向量 |a|＝　1　或||＝　1　 相等向量 方向　相同　且 模　相等　的向量 a＝b或＝ 相反向量 方向　相反　且 模　相等　的向量 　－a　 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线　平行　或　重合　时，称这两个向量互为共线向量或　平行　向量 a∥b 规定：零向量与任意向量　平行　 0∥a 共面向量 当表示向量a的有向线段所在直线　平行于　平面α或　在　平面α内时，就说向量a平行于平面α a∥α 平行于同一平面的向量，叫作共面向量．空间中，任意两个向量总是　共面　的 4.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b，＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)． (2)空间向量加法的运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a ②加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (3)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa.③λ(a＋b)＝λa＋λb；其中λ∈R，μ∈R. 5．关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向 量定理 两个空间向量a，b (b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ使　a＝λb　.把这个定理称为共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”) 共面向 量定理 任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y, 使得向量c＝xa＋yb.则向量c与a，b为共面向量. 空间向 量基本 定理 如果向量a，b，c是空间三个　不共面　的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xa＋yb＋zc　. 6.空间两向量的夹角及取值范围 (1)两个向量夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫作向量a，b的夹角，记作　〈a，b〉　. (2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝　π　时，向量a与b方向相反，所以若a∥b，则〈a，b〉＝　0或π　；当〈a，b〉＝时，向量a，b互相　垂直　，记作　a⊥b　. 7．空间两向量的数量积及运算律 (1)空间向量数量积定义：已知两个　空间　向量a，b，把　|a||b|cos〈a，b〉　叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝　|a||b|cos 〈a，b〉　.零向量与任意向量的数量积为　0　，即0·a＝　0　 . (2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 8．空间向量投影 (1)向量b在向量a方向上的投影向量 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点　B　作直线OA的垂线，垂足