第七章 第1节 基本立体图形、直观图及其简单几何体的表面积和体积-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　基本立体图形、直观图及其简单几何体的表面积和体积 ★[课程标准] 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图． 3．掌握求解球、柱、锥、台的表面积和体积． 4．会用相关计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题． 1．多面体的结构特征 图形 结构特征 棱柱 两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行 棱锥 底面是多边形，侧棱交于一点 棱台 上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点 2.旋转体的结构特征 图形 结构特征 圆柱 两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形 圆锥 底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形 圆台 上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形 球 过球心的截面是大小相等的圆 3.直观图 斜二测画法主要用于画几何体的直观图，它的具体步骤是： (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝　45°(或135°)　，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示　水平平面　. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成　平行　于x′轴、y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度　不变　；平行于y轴的线段长度为原来的一半． (5)擦去辅助线，并将被遮线化成虚线． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝　2πrl　 S圆锥侧＝　πrl　 S圆台侧＝ 　π(r1＋r2)l　 5.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝ S侧＋2S底 V＝　Sh　 锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝ S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台 和圆台) S表面积＝ S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋ S下＋)h 球 S＝　4πR2　 V＝πR3 　　 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝(a为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． 2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)球的任何截面都是圆．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.(　　) (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A ＝ 90°，则在直观图中∠A＝45°.(　　) (6)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3) √　(4)×　(5)×(6)× ◆[小题查验] 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析：B　[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．] 2．(多选)(忽视棱台侧棱的延长线不能交于一点致误)如图所示，关于几何体的说法正确的是(　　) A．这是一个四棱台 B．这是一个四棱柱 C．此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到 D．此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到 解析：BCD　[A.错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；B.正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；C、D如图，都正确．] 3．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位