第六章 第4节 复 数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　复　数 ★[课程标准] 1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几何意义． 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的　实部　，记作Rez，b称为复数z的　虚部　，记作Im z 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数 的分类 复数a＋bi(a，b∈R) 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭 复数 若两个复数的实部　相等　，而虚部互为　相反数　，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示 复平面 通过建立直角坐标系来表示复数的平面称为　复平面　，x轴叫做　实轴　，y轴叫做　虚轴　.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作　|z|　或　|a＋bi|　 |z|＝|a＋bi|＝ 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 任意两个复数z1＝a＋bi和z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) 加法 减法 运 算 法 则 (a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋　(b＋d)　i (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋　(b－d)　i 两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的　实部　是它们的实部的和，两个复数的和的　虚部　是它们的虚部的和 两个复数的差仍是一个复数，两个复数差的　实部　是它们实部的差，两个复数的差的　虚部　是它们的虚部的差 几 何 意 义 复数的加法可以按照　向量　的加法来进行，这是复数加法的几何意义 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运 算 律 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 交换律：z1＋z2＝z2＋z1 4.复数的乘法 任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R), (a＋bi)(c＋di)＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　. 5．复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)， 则＝＝＝＋i. 6．复数乘法的运算律 (1)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1z2＝　z2z1　； ②结合律：(z1z2)z3＝　z1(z2z3)　； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝　z1z2＋z1z3　. (2)对复数z1，z2，z3和正整数m，n，有： zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. (3)i的乘方运算： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. (4)互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方． 即若z＝a＋bi ，则z·＝|z|2＝||2， 　　 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任何数的平方都不小于0.(　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　) (3)两个虚数的和还是虚数．(　　) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　　) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1　　　　　 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 解析：A　[因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0,2a＝2，解得a＝1，b＝－1.故选A.] 2．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0，且b＝0时，a