第六章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ★[课程标准] 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角及范围 已知两个非零向量a和b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°) 称为向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直．规定零向量可与任一向量垂直，即对任意向量a，都有0⊥a. 2．平面向量的数量积及几何意义 (1)平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)．|a||b|cos θ称作a与b的数量积(或内积), 记法 记作a·b，即a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 规定 零向量与任一向量的数量积为0 (2)当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. (3)投影向量 ①投影向量：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影 γ＝，γ称为投影向量．设向量a与b的夹角为θ，则|a|cos θ称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·.所以投影数量是数量积的特殊情况． (4)投影向量的表示 向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ· 或·. 3．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝　x1x2＋y1y2　 模 |a|＝　　 |a|＝　　 夹角 cos θ＝ cos θ＝　　 a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘结合律：(λa)·b＝＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 　　 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)两个向量的夹角的范围是.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　) A．12　　　　　　　 B．6 C．3 D．3 解析：B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.] 2．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，向量b的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量等于(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：C　[|a|cos 120°e＝2cos 120°e＝－e.] 3．(向量夹角与平面角混淆致误)设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C. D. 解析：A　[由a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－， 又当a与b共线且反向时，2－λ＝0，得λ＝2. 所以λ的取值范围是λ＞－且λ≠2，故选A.] 4．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝　________