第六章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　平面向量的基本定理及坐标表示 ★[课程标准] 1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量的基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个　不共线　的向量，那么对该平面内的　任意一个　向量a，　存在唯一　的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把　不共线　的向量e1，e2叫作表示这一平面内　所有　向量的一组基，记作{e1，e2}． (3)正交基：若基中的两个向量　互相垂直　，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的　单位向量　，则称这组基为标准正交基． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　，a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　，λa＝　(λx1，λy1)　，|a|＝　　. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　， ||＝　　. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　. 　　 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基．(　　) (2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　) (3)同一向量在不同基下的表示是相同的．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 ＝.(　　) (5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)在下列各组向量中，不可以作为基的是(　　) A．e1＝(0, 0)，e2＝(1, －2) B．e1＝(－1, 2)，e2＝(5, 7) C．e1＝(3, 5)，e2＝(6, 10) D．e1＝(2, －3)，e2＝ 答案：ACD 2．(共线的条件不清致误)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则＝是a∥b的　________　条件．(　　) A．充要　　　　　　　 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 解析：C　[若＝，则x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若a∥b，有可能x2或y2为0，故选C.] 3．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 解析：D　[由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2,2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3,1)．故选D.] 4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝　________　. 解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)， 得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－. 答案：－ 5．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基，则a＝　________　.(b，c线性表示) 解析：设a＝λ1b＋λ2c， 则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴解得 ∴a＝－b＋c. 答案：－b＋c 　 　　平面向量基本定理的应用 [典例]　(1)(多选)(2023·济南市第一中学月考)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基的向量组是(　　) A.与　　　　　 B.与 C.与 D.与 [解析]　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基，如图： 对于A，与不共线，可作为基；对于B，与为共线向量，不可作为基；对于C，与是