第六章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　平面向量的概念及线性运算 ★[课程标准] 1．了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4．了解向量的线性运算性质及其几何意义． 1．与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量 有　大小　又有　方向　的量统称为向量. 向量a的大小，记作|a|.又称作向量的　模．　 零向量 长度为　0　的向量称为零向量；任何方向都可以作为零向量的方向．规定零向量与任一向量　共线　；零向量的相反向量仍是　零向量　 0或 单位 向量 模等于　1个单位　长度的向量称为单位向量 相等 向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 向量a与b相等，记作a＝b 共线 向量 (平行 向量) 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量共线或平行 a与b平行或共线，记作 a∥b 相反 向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量；相反向量是共线向量 若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做a与b的和 (1)交换律： a＋b＝　b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 　a＋(b＋c)　 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝　|λ||a|　； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ<0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　 (1)结合律 λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律 (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 给定一个　非零　向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在　唯一　一个实数λ，使a＝λb. 　　 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 4.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　) (4)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．以下说法中正确的个数是(　　) ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0　　　 B．1　 C．2　　　 D．3 解析：B　[①错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的；②正确；③错误，单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况；④错误，零向量也有方向，只是方向任意．] 2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 答案：ABD 3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 解析：A　[如图所示，可知＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.] 4．(忽视向量的方向致误)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：B　[因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.] 5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为　________　. 解析：如图，因为＋＝，－＝， 所以||＝||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 答案：矩形 　 　　平面向量的基本概念 1．(2023·全国模拟)给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相