第九章 第3节 成对数据的统计分析-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　成对数据的统计分析 ★[课程标准] 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为　相关关系　. 2．散点图 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来， 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 3．直线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用　一条光滑的曲线　来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在　一条直线附近　波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 二、一元线性回归方程 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1,2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能　小　.为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到　最小　.换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到　最小　.这个方法称为最小二乘法． 2．用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为 其中，＝　(x1＋x2＋…＋xn)　，＝　(y1＋y2＋…＋yn)　. 这时直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)，，是这个线性回归方程的系数． 三、相关系数及其范围 1．相关系数 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 记r＝ 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数． 为了计算的方便，我们再给出如下式子： r＝ 样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1,1]． 2．相关系数的应用 |r|值越接近　1　，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近　0　，随机变量之间的线性相关程度越弱． 当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量　正　相关；当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量　负　相关；当r＝0时，此时称两个随机变量线性　不　相关． 四、独立性检验 1．分类变量 ①分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． ②取值：分类变量的取值可以用实数表示． 2．2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值， 变量A∶A1，A2＝1； 变量B∶B1，B2＝1. 通过观察得到如下表所示的数据： 　　　B　 A　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据． 设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，估计P(A1)， 估计P(B1)． 若有式子＝·，则可以认为A1与B1独立． 根据2×2列联表中的数据来判断两个分类变量是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2×2列联表的独立性检验． 3．独立性检验的基本思想 计算随机变量χ2＝. 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1)．当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是　没有　关联的； (2)当χ2＞2.706时，有　90%　的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2＞3.841时，有　95%　的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2＞6.635时，有　99%　的把握判断变量A，B有关联． 　　 1．求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，)． 2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可