第九章 第2节 用样本估计总体-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　用样本估计总体 ★[课程标准] 1．结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 2．会列频率分布表，画频率分布直方图，能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律． 3．了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点． 4．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数． 5．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，会求样本数据的平均数、中位数、众数并理解它们的统计含义和作用． 6．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，会求样本数据的方差、标准差、极差，理解离散程度参数的统计含义． 一、从频数到频率 频率表示频数与总数的　比值　.在统计中，经常要用　样本数据的频率　去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行　估计　. 二、频率分布直方图 1．在频率分布直方图中每个矩形的底边长、高、面积的功能 (1)每个小矩形的　底边长　是该组的组距； (2)每个小矩形的　高　是该组的　频率与组距　的比； (3)每个小矩形的　面积　等于该组的　频率　，即每个小矩形的面积＝　组距×　　　＝频率. 2．频率分布直方图的作用：以　面积　的形式反映了数据落在各个小组的频率的　大小　. 3．频率分布直方图的好处 (1)能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的　差别　； (2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形的　面积之和　来表示． 4．频率分布折线图 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在　左边　和　右边　各加一个区间. 从所加的左边区间的　中点　开始，用线段依次连接各个矩形的　顶端中点　，直到右边所加区间的　中点　，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图，有时也用它来估计总体的分布情况. 5．一般地，样本容量　越大　，用样本的频率分布去估计总体的分布就越　精确　. 随着样本容量的增大，所划分的区间数也随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条　光滑曲线　. 三、其他统计图 1．不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的　比例　，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的　频数　和　频率　，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． 2．不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述　离散型　的数据，直方图适用于描述　连续型　数据． 四、样本的数字特征 1．平均数：一组数据的平均值． 2．中位数：将一组数据按　从小到大　的顺序排列后，“　中间　”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是　一样　的． 3．众数：是指这组数据中出现次数　最多　的数据． 4．极差：是数据中最大值和最小值的　差　，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 5．方差：刻画的是数据偏离平均数的　离散程度　， 方差计算公式：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 标准差：由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位. 为此，计算方差的算术平方根，得s＝＝ ，称之为标准差． 五、百分位数 1．百分位数的特点：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈　(0,1)　，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数　小于或等于　它的可能性是　p　. 2．四分位数：25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数，这三个百分位数把总体数据按照从小到大排列后分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是　　，因此称为总体的四分位数． 说明：总体的p分位数通常是未知的，人们用样本的p分位数来估计它，样本容量　越大　，估计越　精确　. 　　 1．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则： ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(　　) (2) 频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．(　　) (3)在频率分布直方图中，样本数据的80%分位数即由小到大分组的累计频率为0