第二章 热点强化课1 函数性质的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练． 　 函数的单调性与奇偶性 [例1]　(2023·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则(　　) A．f(log2π)＞f＞f(2－π) B．f(log2)＞f(2－π)＞f(log2π) C．f(2－π)＞f＞f(log2π) D．f(2－π)＞f(log2π)＞f [解析]　∵f(x)是偶函数，∴f＝ f(－log23)＝f(log23)． ∵1＜log23＜log2π＜2,0＜2－π＜1，∴0＜2－π＜log23＜log2π＜2. ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2－π)＜f(log23)＜f(log2π)， 即f(2－π)＜f＜f(log2π)，故选A. [答案]　A [例2]　(2023·山东聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若对∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＞x2时，都有(x1－x2)＜0，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞4的解集为(　　) A．(－3,1) B．(－3，－1)∪(－1,1) C．(－∞，－1)∪(－1,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) [解析]　由(x1－x2)＜0， 得(x1－x2)＜0， 因为x1－x2＞0，x1x2＞0，所以x1f(x1)－x2f(x2)＜0，即x1f(x1)＜x2f(x2)，设g(x)＝xf(x)， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 而g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)＞4＝2f(2)＝g(2)，则0＜x＋1＜2，解得－1＜x＜1； 因为f(x)为R上的奇函数， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)， 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增， g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)＞4＝g(－2)，则－2＜x＋1＜0，解得－3＜x＜－1， 综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1,1)． [答案]　B 　　 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 函数的奇偶性与周期性 [例3]　设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－　　 B．－　 C.　　　 D. [解析]　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a， 又f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a， f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2， 所以f＝f＝f＝f ＝f ＝－f＝－f＝－f ＝－f ＝－a－b＝－a＝，故选D. [答案]　D [例4]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 [解析]　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x＋1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4， 所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. [答案]　A 　　 利用函数的奇偶性和周期性求解策略： 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性结合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知函数