第二章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第8节　方程解的存在性及方程的近似解 ★[课程标准] 1．理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 1．函数的零点 (1)函数的零点 使得　f(x0)＝0　的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的　零点　.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的　横坐标　. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　. (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即　f(a)·f(b)＜0　，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个　零点　，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0　至少　有一个解． 2．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条　连续　的曲线， 　f(a)·f(b)＜0　，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 　(x1,0)，　 　(x2,0)　 　(x1,0)　 无交点 零点个数 2 1 0 　　 1．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． 2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间有(　　) A．(1,2)　　　　　　 B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7) 解析：BCD　[由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内至少有一个零点．] 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1,0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 解析：BD　[根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．] 4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(0,1) C．(2，e) D．(e,3) 解析：C　[因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在h的区间为(2，e)．] 5．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为　________　. 解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或－. 答案：0或－ 　　 确定函数零点所在的区间 1．若a<b<c，则函数