第二章 第5节 指数与指数函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　指数与指数函数 ★[课程标准] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． 1．指数幂的拓展 (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)，若存在唯一的正数b，使得　bn＝am　，则称b为a的次幂，记作b＝　　，这就是正分数指数幂． 当k为正整数时，分数指数幂满足：　　.有时，也把写成　　的形式． (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n　互素　)， 定义： 2．有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. (1)无理指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的无理数α，规定：a－α＝. (2)指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 a＞0，b＞0， α，β为实数 aα·aβ＝　aα＋β　 (aα)β＝　aαβ　 (ab)α＝　aα·bα　 3.指数函数及其性质 (1)概念：形如y＝ax(a>0且a≠1) 的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数值大小比较 函数y＝ax和y＝bx a＞b＞1 0＜a＜b＜1 ①当x＜0时，0＜ax　＜　bx＜　1　 ①当x＜0时，ax＞bx＞　1　 ②当x＝0时，ax＝bx＝　1　 ②当x＝0时，ax＝bx＝　1　 ③当x＞0时，ax＞bx＞　1　 ③当x＞0时，0＜ax＜bx＜　1　 (3)指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 (1)定义域：　R　 (2)值域：　(0，＋∞)　 (3)过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝　1　 (4)当x＜0时，　0＜y＜1　；当x＞0时，　y＞1　 (4)当x＜0时，　y＞1　；当x＞0时，　0＜y＜1　 (5)在R上是　增函数　 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于　正无穷大　； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于　0　 (5)在R上是　减函数　 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于　0　； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于　正无穷大　 对称性 函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于　y轴　对称，且它们在R上单调性　相反　 　　 1．()n＝a(n∈N＋)． 2.＝n为偶数． 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”. (1)与()n都等于a(n∈N＋)．(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．化简－(－1)0的结果为(　　) A．－9　　　 B．7　 C．－10　　 D．9 解析：B　[原式＝－1＝8－1＝7.] 2．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的可能取值为(　　) A. B．2 C. D．4 解析：AC　[由指数函数f(x)＝a－x＝x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)， 根据指数函数单调性可知＞1，所以0＜a＜1，故选AC.] 3．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 解析：C　[由0＜m＜n＜1，∴y＝mx，y＝nx在R上单调递减，所以排除A、B；令x＝1，m＜n，C正确．] 4．已知a＝，则a，b，c的大小关系是　________　. 解析：∵y＝x是减函数， ，即a>b>1， 又c＝ <0＝1，∴c<b<a. 答案：c<b<a 5．(忽视开偶次方规则致误)计算＋＝　________　. 解析：＋＝1＋＋|1－|＝1＋＋－1＝2. 答案：2 　　 根式与有理数指数幂的运算(基础点) 1．化简的结果为(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析：C　原式＝＝－6ab－1＝－.] 2．(2023·青岛市高三月考)化简： ×＝　________　(a＞0)． 答案：a2 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝　________　.