第二章 第4节 幂函数与二次函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第4节　幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1．通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增　 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减； 在　　上单调递增 在　　 上单调递增； 在 上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 　　 1．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法如下： ①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出； ②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝画出； ③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出． 2．关于x的一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析：D　[设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.] 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是(　　) 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由题意知即，解得a>.] 4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是　________　. 解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 5．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)　________　0.(填“>”“<”或“＝”) 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0， 而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0. 答案：> 　　　 幂函数的图象与性质 1．(2023·全国模拟)已知幂函数y＝ (p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞0 B．q为偶数，p为奇数，且＜0 C．q为奇数，p为偶数，且＞0 D．q为奇数，p为偶数，且＜0 解析：D　[因函数y＝的图象关于y轴对称，于是得函数y＝为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有＜0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确．] 2．(2023·河南濮阳模拟)设a＝，b＝0.35