第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准] 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有　－x∈A　，且　f(－x)＝－f(x)　，那么称函数f(x)为奇函数. 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有　－x∈A　，且　f(－x)＝f(x)　，那么称函数f(x)为偶函数. 关于y轴对称 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有　奇偶性　.奇函数和偶函数的定义域关于　原点　对称． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 　　 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ ◆[小题查验] 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　　　　 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 解析：D　[∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)＝2x＋2－x是偶函数．故选D.] 2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 解析：D　[设x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，可得f(x)＝－f(－x)＝－(ex＋1)＝－ex＋1.故选D.] 3．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(　　) A．10 B. C．－10 D．－ 解析：B　[因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝－＝f(x)， 所以函数f(x)是以6为周期的函数． 所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.] 4．(忽视定义域的对称性致误)函数f(x)＝(x＋1) 是　________　函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． 答案：非奇非偶 5．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝　________　. 解析：∵函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，∴f(0)＝0.且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)， ∴f(2 023)＝f(1)＝2, f(2 024)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，